Encontre o resto da divisão de
97 ! por 101

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 97! por 101. Como 101 é primo, vamos usar o Teorema de Wilson e, depois, inversos multiplicativos em Z101 para isolar 97!.

Passo 2

Pelo Teorema de Wilson, para todo primo p vale
(p-1)! equiv -1 pmodp
Aqui p=101, então
100! equiv -1 pmod101

Passo 3

Podemos escrever 100! em termos de 97!:
100! = 100 times 99 times 98 times 97!
Logo, em Z101 temos
100 cdot 99 cdot 98 cdot 97! equiv -1 pmod101

Passo 4

Calculemos 100 cdot 99 cdot 98 módulo 101. Como
100 equiv -1, 99 equiv -2, 98 equiv -3 pmod101,
temos
100 cdot 99 cdot 98 equiv (-1)cdot(-2)cdot(-3) = -6 equiv 101 - 6 = 95 pmod101
Portanto
95 cdot 97! equiv -1 pmod101

Passo 5

Para isolar 97!, multiplicamos por inverso de 95:
97! equiv -1 cdot 95^-1 pmod101
Passamos o sinal negativo:
97! equiv -,95^-1 equiv 101 - 95^-1 pmod101

Passo 6

Note que 95 equiv -6, então
95^-1 equiv (-6)^-1 = -6^-1 pmod101
Procuramos x tal que 6xequiv1pmod101. Testando, 6cdot17=102equiv1, logo 6^-1=17. Assim
95^-1 equiv -17 pmod101Longrightarrow -,95^-1equiv 17pmod101

Resposta

O resto da divisão de 97! por 101 é 17.

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