Questão 3: Critério de Mohr-Coulomb

Considere que, num ensaio de compressão triaxial realizado em uma amostra de argila, os valores das tensões principais e o ângulo de inclinação do plano de ruptura são dados em função de um inteiro N, da seguinte forma:
\sigma_{1}=50 N+200 \quad[\mathrm{kPa}], \quad \sigma_{3}=10 N+80 \quad[\mathrm{kPa}], \quad \theta=50^{\circ}+0,5 N \quad \text { [graus] } .
Sabe-se que, no círculo de Mohr, o ponto que representa o estado de tensão sobre o plano de ruptura está a um ângulo 2 \theta medido a partir do eixo das tensões normais. Admita que a amostra de solo obedeça ao critério de Mohr-Coulomb, tal que
\tau=c+\sigma_{n} \tan \varphi,
e que a geometria do plano de ruptura satisfaça
\theta=45^{\circ}+\frac{\varphi}{2},
Solicita-se calcular, utilizando-se o círculo de Mohr:
(a) A tensão normal no plano de ruptura ( \sigma_{r} ).
(b) A tensão de cisalhamento no plano de ruptura \left(\tau_{r}\right).
(c) O ângulo de atrito interno \varphi.
(d) A coesão c.

Passo 1

O enunciado dá, em função de um inteiro N, as tensões principais e o ângulo do plano de ruptura:
\sigma_{1}=50\,N+200,\quad \sigma_{3}=10\,N+80,\quad \theta=50^{\circ}+0,5\,N.
Pede-se, com o círculo de Mohr e o critério de Mohr-Coulomb \tau=c+\sigma_{n}\tan\varphi (e sabendo que \theta=45^{\circ}+\varphi/2), encontrar
(a) a tensão normal \sigma_{r} no plano de ruptura,
(b) a tensão de cisalhamento \tau_{r} no mesmo plano,
(c) o ângulo de atrito interno \varphi,
(d) a coesão c.

Passo 2

Primeiro encontramos o centro e o raio do círculo de Mohr. O centro (tensão média) é
\sigma_{m}=\frac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2} =\frac{(50N+200)+(10N+80)}{2} =30N+140.
O raio é
R=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2} =\frac{(50N+200)-(10N+80)}{2} =20N+60.

Passo 3

As coordenadas ( \sigma_{r},\tau_{r}) de um ponto no círculo, a um ângulo 2\theta medido desde o eixo das normais, vêm de:
\sigma_{r} =\sigma_{m}+R\cos(2\theta), \quad \tau_{r} =R\sin(2\theta).
Aqui 2\theta=2(50^{\circ}+0,5N)=100^{\circ}+N. Logo
\sigma_{r} =(30N+140)+ (20N+60)\cos\bigl(100^{\circ}+N\bigr),
\tau_{r} =(20N+60)\sin\bigl(100^{\circ}+N\bigr).

Passo 4

Da geometria do plano de ruptura temos
\theta=45^{\circ}+\frac{\varphi}{2} \;\Longrightarrow\; \varphi=2\theta-90^{\circ} =2(50^{\circ}+0,5N)-90^{\circ} =10^{\circ}+N.

Passo 5

Finalmente, aplicamos o critério de Mohr-Coulomb no ponto de ruptura:
\tau_{r} =c+\sigma_{r}\tan\varphi \;\Longrightarrow\; c =\tau_{r}-\sigma_{r}\tan\varphi.
Substituindo \sigma_{r}, \tau_{r} e \varphi:
c =(20N+60)\sin\bigl(100^{\circ}+N\bigr) -\bigl[(30N+140)+(20N+60)\cos\bigl(100^{\circ}+N\bigr)\bigr]\tan\bigl(N+10^{\circ}\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \sigma_{r}=(30N+140)+(20N+60)\cos\bigl(100^{\circ}+N\bigr)\,\mathrm{kPa}
(b) \displaystyle \tau_{r}=(20N+60)\sin\bigl(100^{\circ}+N\bigr)\,\mathrm{kPa}
(c) \displaystyle \varphi=N+10^{\circ}
(d) \displaystyle c=(20N+60)\sin\bigl(100^{\circ}+N\bigr)\; - \;\bigl[(30N+140)+(20N+60)\cos\bigl(100^{\circ}+N\bigr)\bigr]\tan\bigl(N+10^{\circ}\bigr)\,\mathrm{kPa}

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