( 0,3 \mathrm{pts} ) Calcule a função derivada das funções abaixo:
x^{\frac{1}{x}}\\, para \(x>0)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{1/x} para x>0. Aqui vamos usar o método de diferenciação logarítmica, que é ideal quando a incógnita aparece tanto na base quanto no expoente de uma potência.

Passo 2

Primeiro, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados para simplificar a expressão:
\ln f(x) = \ln\bigl(x^{1/x}\bigr) = \frac{1}{x}\,\ln x.

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo, pela regra da cadeia, vem \frac{f'(x)}{f(x)}. Do lado direito, temos a derivada da função \frac{\ln x}{x}. Usando a regra do quociente (ou produto com x^{-1}), obtemos:
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{\ln x}{x}\Bigr) = \frac{1\cdot x - (\ln x)\cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}.

Passo 4

Isolando f'(x), multiplicamos ambos os lados por f(x) e substituímos f(x)=x^{1/x}:
f'(x) = f(x)\,\frac{1 - \ln x}{x^2} = x^{1/x}\,\frac{1 - \ln x}{x^2}.

Resposta

f'(x) = x^{1/x}\,\frac{1 - \ln x}{x^2}.

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