Encontre as seguintes antiderivadas.
\int \frac{x-4}{x^{2}+5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
\int \frac{x - 4}{x^{2} + 5}\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a decomposição dessa integral em termos de duas integrais mais simples e as fórmulas
\int \frac{x}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)+C \quad\text{e}\quad \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr)+C.

Passo 2

Decompomos a integral em duas partes:
\int \frac{x - 4}{x^{2} + 5}\,dx = \int \frac{x}{x^{2} + 5}\,dx - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 5}\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte usamos a^{2}=5. Com u = x^{2}+5 temos du = 2x\,dx, então
\int \frac{x}{x^{2}+5}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+5\bigr).

Passo 4

Para a segunda parte aplicamos diretamente
\int \frac{1}{x^{2}+5}\,dx = \int \frac{1}{x^{2}+(\sqrt{5})^{2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{5}}\Bigr).
Multiplicando por -4 -\frac{4}{\sqrt{5}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{5}}\bigr).

Resposta

\int \frac{x - 4}{x^{2} + 5}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+5\bigr) - \frac{4}{\sqrt{5}}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{5}}\Bigr) + C.

Exercícios relacionados