Resolva as integrais idefinidas pelo método de integração por partes.
\int \ln \left(x^{2}+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln\bigl(x^{2}+2\bigr)\,dx
usando o método de integração por partes. Vamos tratar a parte \ln(x^{2}+2) como u e dx como dv.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln\bigl(x^{2}+2\bigr), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr)\,dx = \frac{2x}{x^{2}+2}\,dx, \quad v = \int dv = x.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
\int \ln\bigl(x^{2}+2\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}+2\bigr) - \int x\;\frac{2x}{x^{2}+2}\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+2\bigr) -2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+2}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \frac{x^{2}}{x^{2}+2}\,dx, fazemos a divisão
\frac{x^{2}}{x^{2}+2} = 1 - \frac{2}{x^{2}+2},
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\int \frac{x^{2}}{x^{2}+2}\,dx = \int 1\,dx \;-\; 2\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx = x \;-\; 2\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx.

Passo 5

Sabemos que
\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx = \int \frac{1}{x^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr).
Então
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+2}\,dx = x - 2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr) = x - \sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 6

Voltando à expressão principal,
\int \ln\bigl(x^{2}+2\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+2\bigr) -2\Bigl[x - \sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr)\Bigr] + C.
Distribuindo o -2, obtemos
x\ln\bigl(x^{2}+2\bigr) -2x +2\sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \ln\bigl(x^{2}+2\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+2\bigr) -2x +2\sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr) + C }.

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