Encontre as seguintes antiderivadas.
\int \frac{4 x^{7}}{3 x^{8}-2} d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função racional \displaystyle \int \frac{4 x^{7}}{3 x^{8}-2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que o numerador é proporcional à derivada do denominador, então vamos usar substituição simples.

Passo 2

Defina \,u = 3 x^{8} - 2.
Logo, \,du = 24 x^{7}\,dx,
o que implica \,x^{7}\,dx = \frac{du}{24}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{4 x^{7}}{3 x^{8}-2}\,dx obtemos \displaystyle \int \frac{4}{u}\,\frac{du}{24} = \frac{1}{6}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{6}\ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando a x, temos \,u = 3 x^{8}-2.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\,\ln\bigl|3 x^{8} - 2\bigr| + C

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