Encontre as seguintes antiderivadas.
\int \frac{1}{8 x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função \frac{1}{8x-3}. O conteúdo aqui é o método de substituição (ou mudança de variável), pois o denominador é uma expressão linear em x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 8x - 3,
então diferenciado em relação a x obtemos
du = 8\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{8}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int\frac{1}{8x-3}\,dx temos
\int \frac{1}{u}\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\int \frac{du}{u}.
Sabemos que \displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, onde u = 8x - 3, concluímos
\int \frac{1}{8x-3}\,dx = \frac{1}{8}\ln\bigl|8x-3\bigr| + C.

Resposta

\boxed{\frac{1}{8}\,\ln\bigl|8x-3\bigr| + C}

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