Resolva as integrais idefinidas pelo método de integração por partes.
\int \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \ln x \,dx
usando o método de integração por partes. Esse método se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e precisamos escolher convenientemente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln x,\quad dv = dx
porque a derivada de \ln x simplifica a expressão e a integral de dx é direta. Calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int dv = \int dx = x.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int \ln x\,dx = u\,v - \int v\,du

Passo 4

Substituindo u, v e du na expressão acima, obtemos
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx
A integral que resta é
\int 1\,dx
cujo valor é x. Assim,
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C

Passo 5

Concluímos que uma antiderivada de \ln x é
x\ln x - x + C.

Resposta

x\ln x - x + C

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