Resolva as integrais indefinidas por mudança de variável.
\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4x - x^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal será usar técnica de substituição (mudança de variável) após completar o quadrado no radicando.

Passo 2

Complete o quadrado em 5 - 4x - x^{2}. Note que
5 - 4x - x^{2} = -\bigl(x^{2} + 4x - 5\bigr) = -\bigl((x+2)^{2} - 9\bigr) = 9 - (x+2)^{2}.

Passo 3

Faça a substituição
t = x + 2, \quad dx = dt.
Então \sqrt{5 - 4x - x^{2}} = \sqrt{9 - t^{2}} e x+3 = (t - 2) + 3 = t + 1.

Passo 4

A integral torna-se
\int \frac{t+1}{\sqrt{9 - t^{2}}}\,dt = \int \frac{t}{\sqrt{9 - t^{2}}}\,dt \;+\; \int \frac{1}{\sqrt{9 - t^{2}}}\,dt.

Passo 5

Para a primeira parte use u = 9 - t^{2}, logo du = -2t\,dt e t\,dt = -\tfrac12\,du:
\int \frac{t}{\sqrt{9 - t^{2}}}\,dt = -\frac12 \int u^{-\tfrac12}\,du = -\sqrt{u} = -\sqrt{9 - t^{2}}.

Passo 6

A segunda parte é a forma padrão
\int \frac{1}{\sqrt{9 - t^{2}}}\,dt = \arcsin\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr).

Passo 7

Somando os resultados e voltando a x (onde t=x+2 e \sqrt{9 - t^{2}} = \sqrt{5 - 4x - x^{2}}), obtemos
\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4x - x^{2}}}\,dx = -\sqrt{5 - 4x - x^{2}} + \arcsin\!\bigl(\tfrac{x+2}{3}\bigr) + C.

Resposta

-\sqrt{5 - 4x - x^{2}} + \arcsin\!\bigl(\tfrac{x+2}{3}\bigr) + C.

Exercícios relacionados