Resolva as integrais indefinidas por mudança de variável.
\int \frac{d x}{2 x^{2}+2 x+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{2x^{2}+2x+5}
O conteúdo principal é completar o quadrado no denominador e usar a fórmula
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\biggl(\frac{u}{a}\biggr)+C.

Passo 2

Vamos reescrever o denominador completando o quadrado. Primeiro fatoramos 2:
2x^{2}+2x+5 = 2\bigl(x^{2}+x+\tfrac{5}{2}\bigr).
Agora completamos o quadrado em x^{2}+x+\tfrac{5}{2}:
x^{2}+x+\tfrac{5}{2} = \Bigl(x+\tfrac12\Bigr)^{2} - \tfrac14 + \tfrac{5}{2} = \Bigl(x+\tfrac12\Bigr)^{2} + \tfrac{9}{4}.
Logo
2x^{2}+2x+5 = 2\Bigl[\bigl(x+\tfrac12\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}\Bigr].

Passo 3

Substituindo de volta na integral, temos
\int \frac{dx}{2x^{2}+2x+5} = \frac{1}{2}\,\int \frac{dx}{\bigl(x+\tfrac12\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}}.
Agora fazemos a troca de variável
u = x+\tfrac12, \quad du = dx.
A integral vira
\frac{1}{2}\,\int \frac{du}{u^{2}+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}}.

Passo 4

Usamos a fórmula padrão para \int du/(u^{2}+a^{2}) com a=\tfrac{3}{2}:
\int \frac{du}{u^{2}+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}} = \frac{1}{\,\tfrac{3}{2}\,}\,\arctan\!\Bigl(\frac{u}{\tfrac{3}{2}}\Bigr) = \frac{2}{3}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2u}{3}\Bigr).
Multiplicando pelo 1/2 que estava fora, obtemos
\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2u}{3}\Bigr) = \frac{1}{3}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2u}{3}\Bigr)+C.

Passo 5

Voltando a variável x (lembre que u=x+\tfrac12), fica
\frac{2u}{3} = \frac{2\bigl(x+\tfrac12\bigr)}{3} = \frac{2x+1}{3}.

Resposta

\int \frac{dx}{2x^{2}+2x+5} = \frac{1}{3}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{3}\Bigr)+C.

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