y^{\prime}=3 x^{2} y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 3x^2\,y
e pede a solução geral. Esse é um caso clássico de equação separável, em que podemos escrever todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro antes de integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis dividindo por y e multiplicando por dx, obtendo
\frac{dy}{y} = 3x^2\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada membro:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3x^2\,dx
leva a
\ln\lvert y\rvert = x^3 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, exponenciamos ambos os lados:
\lvert y\rvert = e^{x^3 + C} = e^C\,e^{x^3}.
Como e^C é uma constante positiva arbitrária, podemos chamar A = \pm e^C e obter a forma geral
y = A\,e^{x^3},
sendo A uma constante real.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = A\,e^{x^3},
com A\in\mathbb{R}.

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