Encontre as seguintes integrais indefinidas:
integral tan 3 x-cot 3 xsin 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral tan 3x - cot 3xsin 3x,dx
O conteúdo que vamos usar inclui reescrita de funções trigonométricas em termos de seno e cosseno e as integrais padrão
integral sec(ax),dx e integral csc(ax)cot(ax),dx, além da regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos tan3x e cot3x em função de seno e cosseno e simplificamos a divisão por sin3x:
tan3x = sin3xcos3x, cot3x = cos3xsin3x
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tan3x - cot3xsin3x = sin3x/cos3xsin3x ;-;cos3x/sin3xsin3x = 1cos3x ;-;cos3xsin^2 3x = sec3x ;-;csc3x,cot3x

Passo 3

A integral fica então a soma de duas integrais conhecidas:
integral tan3x - cot3xsin3x,dx = integral sec3x,dx ;-;integral csc3x,cot3x,dx

Passo 4

Usamos as fórmulas padrões (e aplicamos a regra da cadeia ao fator 3):
Para a primeira,
integral sec3x,dx = 13lnl|sec3x + tan3xr| + C1,
pois ddxl[ln|sec3x+tan3x|r]=3,sec3x.
Para a segunda,
integral csc3x,cot3x,dx = -13csc3x + C2,
pois ddx[csc3x] = -3,csc3x,cot3x.

Passo 5

Combinando os resultados e absorvendo C1 - C2 em uma única constante C, obtemos
integral tan3x - cot3xsin3x,dx = 13lnl|sec3x + tan3xr| + 13csc3x + C

Resposta

13lnl|sec3x + tan3xr| + 13csc3x + C

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