Encontre as seguintes integrais indefinidas:
integral x^3x^8+5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^3x^8+5,dx
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição que transforme o denominador em uma forma quadrática em outra variável, permitindo reconhecer um arco-tangente.

Passo 2

Faça a substituição
t = x^4
Então
dt = 4x^3,dx Longrightarrow x^3,dx = dt4

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
integral x^3x^8+5,dx = integral 1(x^4)^2+5;x^3,dx = integral 1t^2+5;dt4 = 14integral dtt^2+5

Passo 4

Reconhecemos a integral padrão
integral dtt^2+a^2 = 1aarctan!l(tfractar)+C
com a^2=5, ou seja a=raiz5. Assim,
14integral dtt^2+5 = 14,1raiz5arctan!l(traiz5r)+C = 14raiz5arctan!l(traiz5r)+C

Passo 5

Volte à variável x usando t=x^4:
integral x^3x^8+5,dx = 14raiz5arctan!l(x^4raiz5r)+C

Resposta

integral x^3x^8+5,dx = 14raiz5arctan!l(x^4raiz5r)+C

Exercícios relacionados