Encontre os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sqrt[3]{x+1}-2 \sqrt{x+1}+4 x-1}{x^{2}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{3\sqrt[3]{x+1}-2\sqrt{x+1}+4x-1}{x^{2}+2x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão é uma fração cujo numerador e denominador dependem de x.
  • Se fizermos substituição direta x=0 obtemos no numerador 3\sqrt[3]{1}-2\sqrt{1}+0-1=3-2-1=0 e no denominador 0^{2}+2\cdot0=0. Logo a forma é indeterminada do tipo \tfrac{0}{0}.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando x tende a 0.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática do método):
Usarei a expansão em série (o desenvolvimento em série de Taylor/Binomial) de (1+x)^{\alpha} até termos de ordem x^{2}. Isso é prático aqui porque as raízes aparecem em formas (1+x)^{\alpha} com \alpha=\tfrac{1}{3} e \alpha=\tfrac{1}{2}, e basta conhecer os dois primeiros termos não triviais para determinar o limite. Explicar a fórmula usada:
Para \alpha\in\mathbb{R} e x pequeno vale
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^{2}+O(x^{3}),
onde O(x^{3}) indica termos de ordem igual ou superior a x^{3} que serão desprezíveis quando x\to 0.
Vou aplicar essa fórmula a \alpha=\tfrac{1}{3} e \alpha=\tfrac{1}{2} e calcular explicitamente os coeficientes.

Passo 3

Expansões:
Para \alpha=\tfrac{1}{3}:
\sqrt[3]{1+x}=(1+x)^{1/3}=1+\frac{1}{3}x+\frac{\tfrac{1}{3}\left(\tfrac{1}{3}-1\right)}{2}x^{2}+O(x^{3}).
Calcule o coeficiente de x^{2}:
\frac{\tfrac{1}{3}\left(\tfrac{1}{3}-1\right)}{2}=\frac{\tfrac{1}{3}\cdot(-\tfrac{2}{3})}{2}=\frac{-\tfrac{2}{9}}{2}=-\tfrac{1}{9}.
Portanto
\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^{2}+O(x^{3}).
Para \alpha=\tfrac{1}{2}:
\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}=1+\frac{1}{2}x+\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)}{2}x^{2}+O(x^{3}).
Calcule o coeficiente de x^{2}:
\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)}{2}=\frac{\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})}{2}=\frac{-\tfrac{1}{4}}{2}=-\tfrac{1}{8}.
Portanto
\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+O(x^{3}).

Passo 4

Substituir as expansões no numerador e expandir cuidadosamente.
Numerador:
N(x)=3\sqrt[3]{1+x}-2\sqrt{1+x}+4x-1.
Usando as séries:
3\left(1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^{2}+O(x^{3})\right) -2\left(1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+O(x^{3})\right)+4x-1.
Desenvolvendo termo a termo:
Constantes:
3\cdot 1-2\cdot 1-1=3-2-1=0,
confirmando que o termo constante some.
Coeficiente de x:
3\cdot\frac{1}{3}-2\cdot\frac{1}{2}+4 = 1-1+4=4.
Então aparece 4x.
Coeficiente de x^{2}:
3\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)-2\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)= -\frac{1}{3}+\frac{1}{4}.
Calcule a soma:
-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=-\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=-\frac{1}{12}.
Portanto, até ordem x^{2},
N(x)=4x-\frac{1}{12}x^{2}+O(x^{3}).
Denominador:
D(x)=x^{2}+2x=2x+x^{2}.

Passo 5

Agora podemos avaliar o limite usando as formas dominantes em potência de x. Escrever a razão com as expansões:
\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{4x-\frac{1}{12}x^{2}+O(x^{3})}{2x+x^{2}}.
Fatorando x no numerador e denominador:
\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{x\left(4-\frac{1}{12}x+O(x^{2})\right)}{x\left(2+x\right)}=\frac{4-\frac{1}{12}x+O(x^{2})}{2+x}.
Agora tomar o limite x\to 0. Como os termos em x tendem a zero:
\lim_{x\to 0}\frac{4-\frac{1}{12}x+O(x^{2})}{2+x}=\frac{4}{2}=2.
Breve justificativa do método: a expansão em série foi escolhida porque transforma as raízes em polinômios aproximados, tornando explícitos os termos dominantes; isto evita diferenciar várias vezes (como faria L’Hôpital sucessivas vezes) e dá um cálculo direto dos coeficientes dominantes, ideal para limites com formas \tfrac{0}{0}.

Resposta

2

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