Encontre os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão é uma fração cujo numerador e denominador dependem de
. - Se fizermos substituição direta
obtemos no numerador e no denominador . Logo a forma é indeterminada do tipo . - O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando
tende a .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática do método):
Usarei a expansão em série (o desenvolvimento em série de Taylor/Binomial) de até termos de ordem
. Isso é prático aqui porque as raízes aparecem em formas
com
e
, e basta conhecer os dois primeiros termos não triviais para determinar o limite. Explicar a fórmula usada:
Usarei a expansão em série (o desenvolvimento em série de Taylor/Binomial) de
Para
e
pequeno vale
onde
indica termos de ordem igual ou superior a
que serão desprezíveis quando
.
Vou aplicar essa fórmula a
e
e calcular explicitamente os coeficientes.
Passo 3
Expansões:
Para
:
Calcule o coeficiente de
:
Portanto
Para
:
Calcule o coeficiente de
:
Portanto
Passo 4
Substituir as expansões no numerador e expandir cuidadosamente.
Numerador:
Usando as séries:
Desenvolvendo termo a termo:
Constantes:
confirmando que o termo constante some.
Coeficiente de
:
Então aparece
.
Coeficiente de
:
Calcule a soma:
Portanto, até ordem
,
Denominador:
Passo 5
Agora podemos avaliar o limite usando as formas dominantes em potência de
. Escrever a razão com as expansões:
Fatorando
no numerador e denominador:
Agora tomar o limite
. Como os termos em
tendem a zero:
Breve justificativa do método: a expansão em série foi escolhida porque transforma as raízes em polinômios aproximados, tornando explícitos os termos dominantes; isto evita diferenciar várias vezes (como faria L’Hôpital sucessivas vezes) e dá um cálculo direto dos coeficientes dominantes, ideal para limites com formas
.
Resposta
2