Um vetor X=\left(\begin{array}{c}x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \\\ \vdots \\\ x_{n}(t)\end{array}\right) que satisfaz a equação (1) é dito vetor solução do sistema de EDO’s.
2. Verifique que em \mathbb{R},
X_{1}=\binom{1}{-1} e^{-2 t}=\binom{e^{-2 t}}{-e^{-2 t}} \text { e } X_{2}=\binom{3}{5} e^{6 t}=\binom{3 e^{6 t}}{5 e^{6 t}}
são soluções de
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 5 & 3 \end{array}\right) X
Ainda, vale o Princípio da superposição para sistemas de EDO’s, ou seja,
Teorema 1: Sejam X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{k} um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo no intervalo I. Então, a combinação linear
X=c_{1} X_{1}+c_{2} X_{2}+\cdots+c_{k} X_{k},
onde c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k} são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que os vetores
X_{1}(t)=\begin{pmatrix}e^{-2t}\\\ -e^{-2t}\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad X_{2}(t)=\begin{pmatrix}3e^{6t}\\\ 5e^{6t}\end{pmatrix}
satisfazem a EDO vetorial
X' = A\,X,
onde
A = \begin{pmatrix}1&3\\\ 5&3\end{pmatrix}.
O conteúdo usado será: derivação de funções exponenciais e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Calculemos X_{1}'(t) e A\,X_{1}(t):
Derivando componente a componente,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}\bigr)=-2e^{-2t}, \quad \frac{d}{dt}\bigl(-e^{-2t}\bigr)=2e^{-2t},
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X_{1}'(t) =\begin{pmatrix}-2e^{-2t}\\\ 2e^{-2t}\end{pmatrix}.
Agora,
A\,X_{1}(t) =\begin{pmatrix}1&3\\\ 5&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{-2t}\\\ -e^{-2t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(1-3)e^{-2t}\\(5-3)e^{-2t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2e^{-2t}\\\ 2e^{-2t}\end{pmatrix}.
Como X_{1}'(t)=A\,X_{1}(t), X_{1} é solução.)

Passo 3

Calculemos X_{2}'(t) e A\,X_{2}(t):
Derivando,
\frac{d}{dt}\bigl(3e^{6t}\bigr)=18e^{6t}, \quad \frac{d}{dt}\bigl(5e^{6t}\bigr)=30e^{6t},
logo
X_{2}'(t) =\begin{pmatrix}18e^{6t}\\\ 30e^{6t}\end{pmatrix}.
E
A\,X_{2}(t) =\begin{pmatrix}1&3\\\ 5&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3e^{6t}\\\ 5e^{6t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(3+15)e^{6t}\\(15+15)e^{6t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}18e^{6t}\\\ 30e^{6t}\end{pmatrix}.
Como X_{2}'(t)=A\,X_{2}(t), X_{2} é solução.)

Passo 4

Pelo Teorema do Princípio da Superposição, qualquer combinação linear
X(t)=c_{1}X_{1}(t)+c_{2}X_{2}(t),
com c_{1},c_{2} constantes, também satisfaz X'=AX no mesmo intervalo.

Resposta

Verificou-se que
X_{1}'=A\,X_{1} \quad\text{e}\quad X_{2}'=A\,X_{2},
logo ambos são soluções de X'=AX. Além disso, por superposição,
X=c_{1}X_{1}+c_{2}X_{2}
é também solução.

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