Nos exercícios 31-38, determine a primeira e a segunda derivadas.
w=e^{z}(z-1)\left(z^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primeira e a segunda derivadas de
w = e^{z}\,(z-1)\,(z^{2}+1).
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a derivada da função exponencial. Vamos aplicar a regra do produto duas vezes: primeiro para obter w' e depois para w''.

Passo 2

Defina
u(z) = (z-1)(z^{2}+1),
de modo que
w(z) = e^{z}\,u(z).
Pela regra do produto,
w'(z) = \bigl(e^{z}\bigr)'\,u(z) + e^{z}\,u'(z) = e^{z}\,u(z) + e^{z}\,u'(z) = e^{z}\bigl(u(z)+u'(z)\bigr).
Agora calculemos
u(z) = z^{3}-z^{2}+z-1
e
u'(z) = 3z^{2}-2z+1.

Passo 3

Substituindo em w', temos
w'(z) = e^{z}\bigl((z^{3}-z^{2}+z-1)+(3z^{2}-2z+1)\bigr) = e^{z}\bigl(z^{3}+2z^{2}-z\bigr).
Portanto,
w'(z) = e^{z}\,(z^{3}+2z^{2}-z).

Passo 4

Para w'', aplicamos de novo a regra do produto a
w'(z) = e^{z}\,v(z),
onde
v(z) = z^{3}+2z^{2}-z.
Então
w''(z) = \bigl(e^{z}\bigr)'\,v(z) + e^{z}\,v'(z) = e^{z}\,v(z) + e^{z}\,v'(z) = e^{z}\bigl(v(z)+v'(z)\bigr).
E
v'(z) = 3z^{2}+4z-1.

Passo 5

Somando v e v', obtemos
v(z)+v'(z) = (z^{3}+2z^{2}-z)+(3z^{2}+4z-1) = z^{3}+5z^{2}+3z-1.
Logo,
w''(z) = e^{z}\,(z^{3}+5z^{2}+3z-1).

Resposta

w'(z) = e^{z}\,(z^{3}+2z^{2}-z), \quad w''(z) = e^{z}\,(z^{3}+5z^{2}+3z-1).

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