Encontre os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-3 x}{x^{2}-2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-2x-3}.
O conteúdo envolvido é análise de limite em ponto de descontinuidade vertical, onde o denominador zera e o numerador não. Para resolver, vamos verificar o valor de cada parte em x=-1 e estudar o sinal de numerador e denominador em ambos os lados de -1.

Passo 2

Avaliamos em x=-1. Para o numerador:
(-1)^{2}-3(-1)=1+3=4\neq0.
Para o denominador:
(-1)^{2}-2(-1)-3=1+2-3=0.
Logo, há descontinuidade do tipo divisão por zero com numerador não nulo, indicando possível divergência.

Passo 3

Observamos que o numerador \,x^{2}-3x é contínuo e vale 4>0 em pontos próximos a -1. Portanto, o sinal da fração perto de -1 vem do sinal do denominador.

Passo 4

Fatoramos o denominador para analisar o sinal:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
  • Se x\to -1^{-} (valores um pouco menores que -1), então x+1<0 e x-3<0, logo (x-3)(x+1)>0. Assim
\lim_{x\to -1^-}\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-2x-3}=+\infty.
  • Se x\to -1^{+} (valores um pouco maiores que -1), então x+1>0 e x-3<0, logo (x-3)(x+1)<0. Assim
\lim_{x\to -1^+}\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-2x-3}=-\infty.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes +\infty e -\infty, o limite duplo em x\to -1 não existe.

Resposta

O limite \lim_{x\to -1}\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-2x-3} não existe.

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