Encontre o m d c e o m m c dos seguintes pares de inteiros:
47^{11} \cdot 79^{111} \cdot 101^{1001} e 41^{11} \cdot 83^{111} \cdot 101^{1000}.

Passo 1

O enunciado pede o máximo divisor comum (mdc) e o mínimo múltiplo comum (mmc) dos inteiros
A = 47^{11}\cdot 79^{111}\cdot 101^{1001}
e
B = 41^{11}\cdot 83^{111}\cdot 101^{1000}.
O conteúdo é fatoração em primos e as fórmulas
\gcd(A,B)=\prod_{p}p^{\min(\alpha_p,\beta_p)}, \qquad \mathrm{lcm}(A,B)=\prod_{p}p^{\max(\alpha_p,\beta_p)},
onde em cada produto p varia sobre as bases primárias dos fatores.

Passo 2

Listamos as bases e expoentes em cada número:
A: \quad 47^{11},\;79^{111},\;101^{1001},
B: \quad 41^{11},\;83^{111},\;101^{1000}.
As únicas bases comuns a A e B são 101. As demais (41, 47, 79, 83) não aparecem simultaneamente em ambos.

Passo 3

Para o \gcd(A,B) tomamos o produto das bases comuns elevadas ao menor expoente:
\gcd(A,B)=101^{\min(1001,\,1000)}=101^{1000}.

Passo 4

Para o \mathrm{lcm}(A,B) tomamos o produto de todas as bases envolvidas elevadas ao maior expoente observado em A ou B:
\mathrm{lcm}(A,B) =41^{11}\;\cdot\;47^{11}\;\cdot\;79^{111}\;\cdot\;83^{111}\;\cdot\;101^{\max(1001,\,1000)} =41^{11}\,47^{11}\,79^{111}\,83^{111}\,101^{1001}.

Resposta

\gcd(A,B)=101^{1000}. \mathrm{lcm}(A,B)=41^{11}\,47^{11}\,79^{111}\,83^{111}\,101^{1001}.

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