Encontre o m d c e o m m c dos seguintes pares de inteiros:
2^{3} \cdot 5^{7} \cdot 11^{13} e 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13

Passo 1

O enunciado pede o \mathrm{mdc} e o \mathrm{mmc} de dois inteiros dados em forma de fatoração prima. O conteúdo é a aplicação da regra de mínimos expoentes para o \mathrm{mdc} e de máximos expoentes para o \mathrm{mmc}.

Passo 2

Os números são
N_1 = 2^3 \cdot 5^7 \cdot 11^{13}, \quad N_2 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1.

Passo 3

Para o \mathrm{mdc}(N_1,N_2) usamos que ele é o produto dos primos comuns elevados ao menor expoente em que aparecem em cada número. Os primos comuns são 2, 5 e 11, com expoentes
\min(3,1)=1,\quad \min(7,1)=1,\quad \min(13,1)=1.
Logo
\mathrm{mdc}(N_1,N_2) = 2^1 \cdot 5^1 \cdot 11^1 = 110.

Passo 4

Para o \mathrm{mmc}(N_1,N_2) usamos que ele é o produto de todos os primos que aparecem em pelo menos um dos números, elevados ao maior expoente em que aparecem. Os primos são 2,3,5,7,11,13 com expoentes
\max(3,1)=3,\; \max(0,1)=1,\; \max(7,1)=7,\; \max(0,1)=1,\; \max(13,1)=13,\; \max(0,1)=1.
Logo
\mathrm{mmc}(N_1,N_2)=2^3\cdot3^1\cdot5^7\cdot7^1\cdot11^{13}\cdot13^1.

Resposta

\mathrm{mdc}=110 \mathrm{mmc}=2^3\cdot3\cdot5^7\cdot7\cdot11^{13}\cdot13

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