Q 152 Identificando a indeterminação, calcule cada limite abaixo usando a regra de L’Hôspital.
(f) lim +infty x^2(e^-x-1)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto+infty x^2l(e^-x-1r),
usando a regra de L’Hospital quando aparecerem formas indeterminadas. Aqui vamos precisar do fato de que exponencial domina polinômio e da técnica de L’Hospital para mostrar que x^2e^-xto0.

Passo 2

Observe que
x^2l(e^-x-1r) = x^2e^-x ;-; x^2
Ao passo que x^2to+infty, temos x^2e^-x na forma indeterminada inftycdot0. Vamos calcular este termo isoladamente.

Passo 3

Reescrevendo
x^2e^-x = x^2e^x,
temos a forma indeterminada infty/infty. Aplicando L’Hospital:
limxto+inftyx^2e^x =limxto+infty2xe^x (ainda (infty/infty))
=limxto+infty2e^x =0

Passo 4

Portanto
limxto+inftyx^2l(e^-x-1r) =0 ;-;limxto+inftyx^2 =0 ;-; (+infty) =-infty

Resposta

-infty

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