Encontre a segunda derivada das funções a seguir. (0,40 ponto cada)
f(x)=\frac{1}{2} x^{4}+\frac{2}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada da função
f(x)=\frac{1}{2}x^{4}+\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}.
O conteúdo é derivação de polinômio, usando a regra de potência:
\frac{d}{dx}\bigl(a\,x^{n}\bigr)=a\,n\,x^{n-1}.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x). Aplicando a regra de potência em cada termo:
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{2}x^{4}\Bigr)=2x^{3},\quad \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{2}{3}x^{3}\Bigr)=2x^{2},\quad \frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{1}{2}x^{2}\Bigr)=-x,\quad \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)=0.
Logo,
f'(x)=2x^{3}+2x^{2}-x.

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter a segunda derivada f''(x). De novo, aplicando a regra de potência termo a termo:
\frac{d}{dx}(2x^{3})=6x^{2},\quad \frac{d}{dx}(2x^{2})=4x,\quad \frac{d}{dx}(-x)=-1.
Portanto,
f''(x)=6x^{2}+4x-1.

Resposta

f''(x)=6x^{2}+4x-1

Exercícios relacionados