Resolva a derivada das seguintes funções utilizando a definição. (0,66 ponto cada)
f(x)=\sqrt{x}+x^{2}-x+1000

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x}+x^{2}-x+1000
utilizando a definição de derivada como limite de diferença. O conteúdo envolvido é a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,.

Passo 2

Aplicamos a definição escrevendo primeiro f(x+h):
f(x+h)=\sqrt{x+h}+(x+h)^{2}-(x+h)+1000.

Passo 3

Formamos a diferença f(x+h)-f(x) e cancelamos termos constantes:
\begin{aligned} f(x+h)-f(x)&=\bigl[\sqrt{x+h}+(x+h)^{2}-(x+h)+1000\bigr]\\\ &\quad-\bigl[\sqrt{x}+x^{2}-x+1000\bigr]\\\ &=\sqrt{x+h}-\sqrt{x}+\bigl((x+h)^{2}-x^{2}\bigr)-\bigl(x+h-x\bigr). \end{aligned}
Como (x+h)^{2}-x^{2}=2xh+h^{2} e x+h-x=h, fica
f(x+h)-f(x)=\sqrt{x+h}-\sqrt{x}+2xh+h^{2}-h.

Passo 4

Dividimos por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}+2x+h-1.

Passo 5

Para avaliar \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} usamos racionalização:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} =\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} =\frac{(x+h)-x}{h\bigl(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
Ao h\to0 isso tende a
\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Somando os limites das parcelas:
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x-1.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x-1.

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