Encontre a segunda derivada das funções a seguir. (0,40 ponto cada)
f(x)=x^{2}+\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a segunda derivada da função
f(x)=x^{2}+\sqrt{x}.
O conteúdo envolvido é o de derivadas de potências, e vamos usar a regra do poder para diferenciar termos como x^{n}.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos \sqrt{x} como x^{\tfrac12} e aplicamos a regra do poder em cada termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac12}\bigr) =2x+\tfrac12\,x^{-\tfrac12} =2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x). A derivada de 2x é 2 e a de \tfrac12\,x^{-\tfrac12} é
\frac12\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)x^{-\tfrac32} =-\frac{1}{4}x^{-\tfrac32} =-\frac{1}{4x^{3/2}}.
Logo,
f''(x)=2-\frac{1}{4x^{3/2}}.

Resposta

f''(x)=2-\frac{1}{4x^{3/2}}.

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