Resolva a derivada das seguintes funções utilizando a definição. (0,66 ponto cada)
f(x)=\frac{x^{4}-2 x^{3}+4 x^{2}-6 x+8}{2 x^{2}-4 x+8}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional
f(x)=\frac{x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-6x+8}{2x^{2}-4x+8}
usando a definição de derivada (primeiro princípio). Vamos precisar do limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Calculemos N(x)=x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-6x+8 e D(x)=2x^{2}-4x+8, e suas versões deslocadas:
N(x+h)=N(x)+hA_{1}+h^{2}A_{2}+h^{3}(4x-2)+h^{4},
com
A_{1}=4x^{3}-6x^{2}+8x-6, \quad A_{2}=6x^{2}-6x+4,
e
D(x+h)=D(x)+hB_{1}+2h^{2},
com
B_{1}=4x-4.

Passo 3

Substituindo em
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\tfrac{N(x+h)}{D(x+h)}-\tfrac{N(x)}{D(x)}}{h}
e juntando num único quociente, obtém-se no numerador
N(x+h)D(x)-N(x)D(x+h) =h\bigl(A_{1}D(x)-N(x)B_{1}\bigr)+\mathcal{O}(h^{2}).
Dividindo por h e fazendo h\to0, sobra
f'(x) =\frac{A_{1}D(x)-N(x)B_{1}}{\bigl(D(x)\bigr)^{2}}.

Passo 4

Calculemos A_{1}D(x) e N(x)B_{1}.
Primeiro,
A_{1}D(x) =(4x^{3}-6x^{2}+8x-6)(2x^{2}-4x+8) =8x^{5}-28x^{4}+72x^{3}-92x^{2}+88x-48.
Depois,
N(x)B_{1} =(x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-6x+8)(4x-4) =4x^{5}-12x^{4}+24x^{3}-40x^{2}+56x-32.

Passo 5

Subtraindo,
A_{1}D(x)-N(x)B_{1} =4x^{5}-16x^{4}+48x^{3}-52x^{2}+32x-16 =4\bigl(x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-13x^{2}+8x-4\bigr).
E
\bigl(D(x)\bigr)^{2}=(2x^{2}-4x+8)^{2}.
Logo,
f'(x) =\frac{4\bigl(x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-13x^{2}+8x-4\bigr)}{(2x^{2}-4x+8)^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{4\bigl(x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-13x^{2}+8x-4\bigr)}{(2x^{2}-4x+8)^{2}}.

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