Encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a formula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
x y^prime prime-(x+1) y^prime+y=0 ; y1=e^x^x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, num intervalo adequado, uma segunda solução de
x,y'' - (x+1),y' + y = 0,
sabendo que uma solução é
y1(x) = e^,x^x
O método a usar é a redução de ordem, ou seja, assumir y2=v(x),y1(x) e derivar a fórmula clássica para a segunda solução.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0
Dividindo por x, obtemos
y'' - x+1x,y' + 1x,y = 0,
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P(x) = -l(1 + 1xr), Q(x) = 1x

Passo 3

Pela fórmula de redução de ordem, a segunda solução pode ser escrita como
y2(x) = y1(x),integral expl(-!integral P(x),dxr)[,y1(x),]^2,dx

Passo 4

Calculemos primeiro
integral P(x),dx = integral l(-1 - tfrac1xr),dx = -x - ln|x|
Portanto
expl(-!integral P,dxr) = expl(x + ln|x|r) = x,e^x
E como [y1(x)]^2 = e^2,x^x, o integrando fica
x,e^xe^2,x^x = x,e^,x - 2,x^x

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos uma segunda solução linearmente independente (à constante multiplicativa)
y2(x) = e^,x^x integral x,e^,x - 2,x^x,dx
Esse integral em geral não se expressa em funções elementares, mas a forma acima já caracteriza y2.

Resposta

Uma segunda solução é
y2(x) = e^,x^x integral x,e^,x - 2,x^x,dx,
válida em qualquer intervalo onde tudo esteja bem definido.

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