Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
derivada de f(x)=x no ponto a=1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x no ponto a=1 usando a definição pela diferença quociente:
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
Aqui o conteúdo é entender que a derivada de uma função linear é a sua inclinação constante.

Passo 2

Calculemos f(1+h) e f(1). Como f(x)=x, temos
f(1+h)=1+h,
f(1)=1
Logo,
f(1+h)-f(1)=(1+h)-1=h

Passo 3

Substituindo no quociente de Newton obtemos, para hneq0,
f(1+h)-f(1)h=hh=1

Passo 4

Como a expressão do quociente é igual a 1 para todo hneq0, o limite quando hto0 também será
limhto01=1

Resposta

A derivada de f(x)=x no ponto a=1 é f'(1)=1.

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