Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
derivada de f(x)=x^2 no ponto a=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^2 no ponto a=2 usando a definição por limite do quociente de Newton. Vamos aplicar exatamente
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
ao caso a=2.

Passo 2

Escrevemos o quociente de Newton para a=2:
f'(2)=limhto0f(2+h)-f(2)h

Passo 3

Calculamos f(2+h) e f(2):
f(2+h)=(2+h)^2=4+4h+h^2,
f(2)=2^2=4

Passo 4

Substituímos no numerador e simplificamos:
f(2+h)-f(2)=(4+4h+h^2)-4=4h+h^2

Passo 5

Dividimos por h e fatoramos:
4h+h^2h=h(4+h)h=4+h

Passo 6

Tomamos o limite quando hto0:
limhto0(4+h)=4

Resposta

f'(2)=4

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