encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
y^prime prime+2 y^3+y=0 ; y1=x e^-x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'' + 2y' + y = 0
em que já conhecemos uma solução y1(x)=x e^-x. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, em que
P(x)=2, Q(x)=1
Para encontrar uma segunda solução linearmente independente, vamos usar o método de redução de ordem.

Passo 2

Pela fórmula de redução de ordem, uma segunda solução pode ser escrita como
y2(x) = y1(x)integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx
Aqui integral P(x),dx=integral 2,dx=2x, logo
e^-integral P(x),dx=e^-2x
Substituindo y1(x)=x e^-x, obtemos
integral e^-2x(x e^-x)^2,dx =integral e^-2xx^2e^-2x,dx =integral x^-2,dx =-1x+C
Portanto
y2(x) = x e^-xl(-tfrac1xr) =-e^-x

Passo 3

Como soluções podem diferir por constante de escala, descartamos o sinal negativo e escolhemos
y2(x)=e^-x,
que é linearmente independente de y1(x)=x e^-x.

Resposta

A segunda solução é
y2(x)=e^-x

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