Encontre uma segunda solução das EDOs homogênea abaixo, conhecendo uma solução.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma segunda solução de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis, sabendo que uma solução é
. O conteúdo principal é “redução de ordem”, que nos permite, a partir de
, obter
.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a EDO na forma padrão
. Temos
dividindo toda a equação por
Logo, identificamos
Passo 3
A fórmula de redução de ordem diz que, dadas
e
, uma segunda solução é
Vamos calcular passo a passo. Primeiro
então
Passo 4
Substituindo em
:
Passo 5
Sabendo que
, temos
Passo 6
Como podemos multiplicar uma solução por constante sem perder generalidade, basta tomar
$$y_2(x)=\frac{\cos x}{x}.
$$
Resposta
A segunda solução independente é
.