Encontre uma segunda solução das EDOs homogênea abaixo, conhecendo uma solução.
x y^prime prime+2 y^prime+x y=0, y1=sen(x)x

Passo 1

O enunciado pede para achar uma segunda solução de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis, sabendo que uma solução é y1(x)=sin xx. O conteúdo principal é “redução de ordem”, que nos permite, a partir de y1, obter y2.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Temos
x,y''+2y'+x,y=0
dividindo toda a equação por x (supondo xneq0), fica
y''+2xy'+y=0
Logo, identificamos
P(x)=2x, Q(x)=1

Passo 3

A fórmula de redução de ordem diz que, dadas y1 e P, uma segunda solução é
y2=y1integral e^-integral P,dxy1^2,dx
Vamos calcular passo a passo. Primeiro
integral P(x),dx=integral 2x,dx=2ln|x|,
então
e^-integral P,dx=e^-2ln|x|=x^-2

Passo 4

Substituindo em y2:
y2=sin xxintegral x^-2l(sin xxr)^2,dx =sin xxintegral x^-2sin^2 x /x^2,dx =sin xxintegral 1sin^2 x,dx

Passo 5

Sabendo que integralcsc^2 x,dx=-cot x, temos
y2=sin xxl(-cot xr)= -sin xxcdotcos xsin x=-cos xx

Passo 6

Como podemos multiplicar uma solução por constante sem perder generalidade, basta tomar
$$y_2(x)=\frac{\cos x}{x}.
$$

Resposta

A segunda solução independen­te é y2(x)=dfraccos xx.

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