Encontre uma segunda solução para a equação diferencial dada, em que
é uma solução conhecida
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar uma segunda solução para a equação $ y’’ - 4y’ + 4y = 0 $, sabendo que já temos uma solução conhecida, que é $ y_1 = e^{2x} $. Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma nova solução quando já conhecemos uma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral é $ y’’ + a y’ + b y = 0 $. No nosso caso, $ a = -4 $ e $ b = 4 $. Sabendo disso, a equação característica associada é $ r^2 - 4r + 4 = 0 $.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes. Usando a fórmula de Bhaskara:
Encontrei uma raiz dupla $ r = 2 $. Isso significa que as soluções da equação diferencial têm uma forma especial.
Passo 4
Quando temos uma raiz dupla $ r $, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que são determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Sabemos que $ y_1 = e^{2x} $ é uma solução. Para encontrar a segunda solução $ y_2 $, observamos que ela deve ser linearmente independente de $ y_1 $. Pelo método de redução de ordem, assumimos que $ y_2 = x e^{2x} $.
Passo 6
Vamos verificar se $ y_2 = x e^{2x} $ satisfaz a equação diferencial:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Portanto, $ y_2 = x e^{2x} $ é realmente uma solução.
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é $ y_2 = x e^{2x} $.