Usar o método de variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial
2 y^prime prime+18 y=6 tan (3 x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2y'' + 18y = 6tan(3x)
usando o método de variação de parâmetros. Isso é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para aplicar variação de parâmetros, vamos precisar da solução geral da equação homogênea, do Wronskiano desse sistema fundamental e das fórmulas que dão u1' e u2'.

Passo 2

Dividindo tudo por 2, obtemos
y'' + 9y = 3tan(3x)
A equação homogênea associada é
yh'' + 9yh = 0
com equação característica r^2 + 9 = 0, cujas raízes são r=pm3i. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)
Tomamos como fundamentais
;y1(x)=cos(3x),;y2(x)=sin(3x).

Passo 3

O Wronskiano de (y1,y2) vale
W = cos(3x) & sin(3x) -3sin(3x) & 3cos(3x) = 3l(cos^2(3x)+sin^2(3x)r)=3
As fórmulas de variação de parâmetros são
u1' = -g(x),y2W, u2' = g(x),y1W, g(x)=3tan(3x)

Passo 4

Calculando
u1' = -3tan(3x),sin(3x)3 = -tan(3x),sin(3x) = -sin^2(3x)cos(3x) = -sec(3x)+cos(3x)
Logo
u1 = integral u1',dx = -integral sec(3x),dx +integralcos(3x),dx = -13lnl|sec(3x)+tan(3x)r| +13sin(3x)
E
u2' = 3tan(3x),cos(3x)3 = sin(3x) Longrightarrow u2 = integral sin(3x),dx = -13cos(3x)
Constantes de integração podem ser desprezadas pois ficarão absorvidas em C1,C2.

Passo 5

A solução particular é
yp = u1y1 + u2y2 = l(-tfrac13ln|sec(3x)+tan(3x)|+tfrac13sin(3x)r)cos(3x) +l(-tfrac13cos(3x)r)sin(3x)
Note que sin(3x)cos(3x)-cos(3x)sin(3x)=0, então
yp(x) = -13cos(3x),lnl|sec(3x)+tan(3x)r|

Resposta

A solução geral da equação é
boxed y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) -13cos(3x),lnl|sec(3x)+tan(3x)r|

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