Encontre uma segunda solução linearmente independente da solução dada:
a_{2} x^{2} y^{\prime \prime}+a_{1} x y^{\prime}+a_{0} y=0 ; x>0 e \Delta=0 e y_{1}=x^{r} a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R} \quad r \quad a_{2} \neq 0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Euler–Cauchy de segunda ordem
a_{2}x^{2}y'' + a_{1}x y' + a_{0}y = 0,\quad x>0,
com coeficientes reais a_{2}\neq0 e determinante da equação característica \Delta=0.
Uma solução conhecida é
y_{1}(x)=x^{r},
onde r é a raiz dupla da equação característica. O conteúdo é o método de redução de ordem para obter a segunda solução linearmente independente em caso de raiz dupla.

Passo 2

Escrevemos a forma normalizada
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,
onde
p(x)=\frac{a_{1}}{a_{2}x},\quad q(x)=\frac{a_{0}}{a_{2}x^{2}}.
A equação característica é
a_{2}r(r-1)+a_{1}r+a_{0}=0
e a condição \Delta=0 garante que essa raiz r tem multiplicidade 2.

Passo 3

Pelo método de redução de ordem, a segunda solução pode ser escolhida como
y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\int \frac{\exp\!\bigl(-\int p(x)\,dx\bigr)}{y_{1}(x)^{2}}\;dx.
Calculamos
\int p(x)\,dx =\int \frac{a_{1}}{a_{2}x}\,dx =\frac{a_{1}}{a_{2}}\ln x,
logo
\exp\!\Bigl(-\int p\,dx\Bigr) =x^{-\,a_{1}/a_{2}}.
Assim
y_{2}(x) = x^{r}\!\int \frac{x^{-\,a_{1}/a_{2}}}{x^{2r}}\,dx = x^{r}\!\int x^{-\,\frac{a_{1}}{a_{2}}-2r}\,dx.

Passo 4

Como \Delta=0, a raiz dupla é
r=\frac{a_{2}-a_{1}}{2a_{2}},
e então
-\,\frac{a_{1}}{a_{2}}-2r =-\frac{a_{1}}{a_{2}} -2\cdot\frac{a_{2}-a_{1}}{2a_{2}} =-1.
Logo o integrando é x^{-1} e
\int x^{-1}\,dx=\ln x.
Portanto
y_{2}(x)=x^{r}\,\ln x
é linearmente independente de y_{1}(x).

Resposta

A segunda solução é
y_{2}(x)=x^{r}\,\ln x.

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