Encontre uma segunda solução linearmente independente da solução dada:
e
Passo 1
O enunciado apresenta a equação de Euler–Cauchy de segunda ordem
com coeficientes reais
e determinante da equação característica
.
Uma solução conhecida é
Uma solução conhecida é
onde
é a raiz dupla da equação característica. O conteúdo é o método de redução de ordem para obter a segunda solução linearmente independente em caso de raiz dupla.
Passo 2
Escrevemos a forma normalizada
onde
A equação característica é
e a condição
garante que essa raiz
tem multiplicidade 2.
Passo 3
Pelo método de redução de ordem, a segunda solução pode ser escolhida como
Calculamos
logo
Assim
Passo 4
Como
, a raiz dupla é
e então
Logo o integrando é
e
Portanto
é linearmente independente de
.
Resposta
A segunda solução é