Resolva as seguintes edols:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' = 0
O conteúdo aqui é resolver ODEs lineares homogêneas usando a equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y = e^{r x}, de modo que
y' = r e^{r x}, \quad y'' = r^{2} e^{r x}.
Substituindo em y'' - 3y'=0 obtém-se
r^{2}e^{r x} - 3\,r\,e^{r x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} - 3r = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação
r^{2} - 3r = r(r - 3) = 0
vemos que as raízes são
r_{1} = 0 \quad\text{e}\quad r_{2} = 3.

Passo 4

Como as raízes da característica são distintas, a solução geral da ODE é
y(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x} = C_{1}e^{0\cdot x} + C_{2}e^{3x} = C_{1} + C_{2}e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_{1} + C_{2}e^{3x}.

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