Resolva as edols:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
O que precisamos:
- Resolver a homogênea associada para obter
. - Encontrar uma solução particular
, por exemplo, usando variação de parâmetros ou a forma de convolução com a função de Green.
Passo 2
Começamos pela homogênea
A equação característica é
Logo a solução geral da homogênea é
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Para achar uma solução particular
usamos variação de parâmetros com as bases
,
,.
O wronskiano é
O wronskiano é
As fórmulas de variação de parâmetros dão
Substituindo
,
Passo 4
Podemos reescrever
de forma mais compacta usando a fórmula de convolução (função de Green para
):
Esse integral não se expressa em funções elementares usuais, mas fica perfeitamente definido em forma de quadratura.
Resposta
A solução geral é