Resolva as edols:
y^{\prime \prime}+y=\cos \left(A+8 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' + y = \cos\bigl(A + 8x^2\bigr).
O que precisamos:
  1. Resolver a homogênea associada para obter y_h.
  2. Encontrar uma solução particular y_p, por exemplo, usando variação de parâmetros ou a forma de convolução com a função de Green.

Passo 2

Começamos pela homogênea
y'' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm i.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x,
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p usamos variação de parâmetros com as bases \;y_1(x)=\cos x, \;y_2(x)=\sin x,.
O wronskiano é
W(y_1,y_2)(x) =\begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} =1.
As fórmulas de variação de parâmetros dão
y_p(x) =-y_1(x)\int y_2(x)\,\frac{\cos(A+8x^2)}{W}\,dx + y_2(x)\int y_1(x)\,\frac{\cos(A+8x^2)}{W}\,dx.
Substituindo y_1,y_2,W,
y_p(x) =-\cos x\int \sin x\,\cos\bigl(A+8x^2\bigr)\,dx +\sin x\int \cos x\,\cos\bigl(A+8x^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Podemos reescrever y_p de forma mais compacta usando a fórmula de convolução (função de Green para y''+y):
y_p(x) =\int_{0}^{x}\sin\bigl(x-t\bigr)\,\cos\bigl(A+8t^2\bigr)\,dt.
Esse integral não se expressa em funções elementares usuais, mas fica perfeitamente definido em forma de quadratura.

Resposta

A solução geral é
y(x) =C_1\cos x + C_2\sin x +\int_{0}^{x}\sin\bigl(x-t\bigr)\,\cos\bigl(A+8t^2\bigr)\,dt.

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