Encontre seis soluções l.i. de
(D-1)(D-3)^3(D^2+D+2) y=0,
ou seja, da equação diferencial
y^(6)-9 y^(5)+28 y^(4)-38 y^(3)+45 y^prime prime-81 y^prime+54 y=0

Passo 1

Resumo: Temos uma EDO linear homogênea de 6ª ordem com operador diferencial (D-1)(D-3)^3(D^2+D+2)y=0. O conteúdo é resolver o polinômio característico para encontrar suas raízes (reais e complexas) e usar multiplicidades e transformação para obter seis soluções independentes.

Passo 2

Substituindo D por r, obtemos o polinômio característico:
[(r-1)(r-3)3(r2+r+2)=0]
Resolvendo cada fator, para r-1=0 temos raiz r=1 de multiplicidade 1, e para (r-3)^3=0 temos raiz r=3 de multiplicidade 3.

Passo 3

Para cada raiz real r de multiplicidade m, as soluções independentes são e^rt,t e^rt,dots,t^m-1e^rt. Logo, para r=1 e r=3 temos:
[y_1(t)=e^t,\quad y_2(t)=e^{3t},\quad y_3(t)=t,e^{3t},\quad y_4(t)=t2,e{3t}.]
O fator r^2+r+2=0 gera raízes complexas conjugadas r=-tfrac12pm itfracraiz72. Dessas obtemos as soluções reais:
[r_{5,6}=-\tfrac12\pm i\tfrac{\sqrt7}{2},\quad y_5(t)=e^{-t/2}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr),\quad y_6(t)=e^{-t/2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr).]

Passo 4

Portanto, as funções y1,dots,y6 definidas nos passos anteriores formam um conjunto de seis soluções linearmente independentes da EDO.

Resposta

As seis soluções linearmente independentes podem ser escolhidas como:
e^t, e^3t, t,e^3t, t^2,e^3t, e^-t/2cosl(tfracraiz72tr), e^-t/2sinl(tfracraiz72tr)

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