Encontre seis soluções l.i. de
ou seja, da equação diferencial
Passo 1
Resumo: Temos uma EDO linear homogênea de 6ª ordem com operador diferencial
. O conteúdo é resolver o polinômio característico para encontrar suas raízes (reais e complexas) e usar multiplicidades e transformação para obter seis soluções independentes.
Passo 2
Substituindo
por
, obtemos o polinômio característico:
[(r-1)(r-3)3(r2+r+2)=0]
Resolvendo cada fator, para temos raiz
de multiplicidade 1, e para
temos raiz
de multiplicidade 3.
[(r-1)(r-3)3(r2+r+2)=0]
Resolvendo cada fator, para
Passo 3
Para cada raiz real
de multiplicidade
, as soluções independentes são
. Logo, para
e
temos:
[y_1(t)=e^t,\quad y_2(t)=e^{3t},\quad y_3(t)=t,e^{3t},\quad y_4(t)=t2,e{3t}.]
O fator gera raízes complexas conjugadas
. Dessas obtemos as soluções reais:
[r_{5,6}=-\tfrac12\pm i\tfrac{\sqrt7}{2},\quad y_5(t)=e^{-t/2}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr),\quad y_6(t)=e^{-t/2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr).]
[y_1(t)=e^t,\quad y_2(t)=e^{3t},\quad y_3(t)=t,e^{3t},\quad y_4(t)=t2,e{3t}.]
O fator
[r_{5,6}=-\tfrac12\pm i\tfrac{\sqrt7}{2},\quad y_5(t)=e^{-t/2}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr),\quad y_6(t)=e^{-t/2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr).]
Passo 4
Portanto, as funções
definidas nos passos anteriores formam um conjunto de seis soluções linearmente independentes da EDO.
Resposta
As seis soluções linearmente independentes podem ser escolhidas como: