Problema 3.20. Efetue a divisão euclidiana nos seguintes casos:
(a) de -43 por 3
(b) de -43 por 5
(c) de -233 por 4
(d) de -1453 por 10, por 100 , por 1000 e por 10000 .

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a divisão euclidiana de vários números negativos por inteiros positivos. O tema é divisão euclidiana de inteiros, em que, para dado ain Z e bin N, devemos encontrar quociente q e resto r tais que
a = b,q + r, 0 <= r < b

Passo 2

Para achar q e r usamos
q = llfloor tfracabrrfloor, r = a - b,q,
onde lfloor xrfloor é a função piso (maior inteiro <= x).

Passo 3

(a) Para a=-43 e b=3:
q = llfloor -43/3rrfloor = lfloor -14,333ldotsrfloor = -15,
r = -43 - 3cdot(-15) = -43 + 45 = 2

Passo 4

(b) Para a=-43 e b=5:
q = llfloor -43/5rrfloor = lfloor -8,6rfloor = -9,
r = -43 - 5cdot(-9) = -43 + 45 = 2

Passo 5

(c) Para a=-233 e b=4:
q = llfloor -233/4rrfloor = lfloor -58,25rfloor = -59,
r = -233 - 4cdot(-59) = -233 + 236 = 3

Passo 6

(d) Para a=-1453 e os divisores d=10,;100,;1000,;10000 fazemos o mesmo cálculo de q=lfloor a/drfloor e r=a-d,q. Seguem os resultados:
Para d=10:
q = lfloor -1453/10rfloor = -146, r = -1453 - 10cdot(-146) = 7
Para d=100:
q = lfloor -1453/100rfloor = -15, r = -1453 - 100cdot(-15) = 47
Para d=1000:
q = lfloor -1453/1000rfloor = -2, r = -1453 - 1000cdot(-2) = 547
Para d=10000:
q = lfloor -1453/10000rfloor = -1, r = -1453 - 10000cdot(-1) = 8547

Resposta

(a) quociente = -15, resto = 2
(b) quociente = -9, resto = 2
(c) quociente = -59, resto = 3
(d)
;d=10: quociente = -146, resto = 7 ;d=100: quociente = -15, resto = 47 ;d=1000: quociente = -2, resto = 547 ;d=10000: quociente = -1, resto = 8547

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