Encontre uma solução para o PVI
(D-2)^3 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=-1, y^prime prime(0)=2

Passo 1

A questão pede pra resolver o PVI (D-2)^3y=0, y(0)=1,;y'(0)=-1,;y''(0)=2É um caso de equação diferencial linear com coeficientes constantes e operador repetido, então vamos usar a teoria de raízes múltiplas do operador diferencial.

Passo 2

O operador (D-2)^3 gera a equação característica (r-2)^3=0,ou seja, raiz r=2 de multiplicidade 3. Pela teoria, a solução geral é da forma y(x)=(C1+C2x+C3x^2)e^2x

Passo 3

Agora a gente impõe as condições iniciais. Primeiro note que y(0)=C1cdot e^0=C1=1logo C1=1.

Passo 4

Em seguida, derivamos . Defina , então e [y’=u’e{2x}+2ue{2x}=(u’+2u)e^{2x}.
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Passo 5

Por fim, calculamos y''. Se v(x)=u'(x)+2u(x), então y''=(v'+2v)e^2x. Avaliando em zero resulta em y''(0)=(4C1+4C2+2C3)=2Substituindo C1=1 e C2=-3 4-12+2C3=2 portanto 2C3=10 e C3=5

Resposta

y(x)=(1-3x+5x^2)e^2x

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