Usando as regras de derivação estudadas, derive as seguintes funções:
y=(3 x+1)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função y=(3x+1)^{2} e pede para determinar a sua derivada em relação a x.
Informações fornecidas:
  • A função é y=(3x+1)^{2}.
  • A variável independente é x.
    Objetivo claro: calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Como a função é uma potência de uma expressão linear, uma forma natural de proceder é tratar a parte interna 3x+1 como uma nova variável temporária e aplicar a regra que combina a derivada da potência com a derivada da expressão interior. Vou usar a substituição
u = 3x + 1,
então a função fica y = u^{2}. Depois volto a escrever tudo em x. (Observação: outra abordagem possível é expandir (3x+1)^{2} e derivar termo a termo; mostro essa alternativa depois para reforçar.)

Passo 3

Vou lembrar duas regras simples que usarei (explicando o que cada símbolo significa):
  • Regra da potência (para variável u): se y=u^{n} com n constante, então a derivada de y em relação a u é
\frac{dy}{du}=n\,u^{\,n-1}.
Aqui u é a variável (a expressão interna) e n é o expoente.
  • Derivada de uma função linear: se u=ax+b com a,b constantes, então
\frac{du}{dx}=a,
porque a derivada de ax é a e a derivada de uma constante b é 0.

Passo 4

Aplicando essas regras ao nosso caso:
  • Com u=3x+1 e y=u^{2}, pela regra da potência,
\frac{dy}{du}=2u.
  • Pela derivada da expressão linear u=3x+1,
\frac{du}{dx}=3.
Agora combinamos (regra da cadeia): a derivada de y em relação a x é o produto \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}. Assim
\frac{dy}{dx}=2u\cdot 3.
Voltando para x (substituindo u=3x+1):
\frac{dy}{dx}=2(3x+1)\cdot 3.
Podemos simplificar esta expressão (multiplicando os números): 2\cdot 3=6, então
\frac{dy}{dx}=6(3x+1).
Se quiseres expandir, 6(3x+1)=18x+6.

Passo 5

Alternativa (expansão + derivação termo a termo) — procedimento que dá o mesmo resultado e é útil para conferir:
  • Primeiro expandir (3x+1)^{2}:
(3x+1)^{2}=9x^{2}+6x+1.
  • Derivar termo a termo usando a regra da potência para potências de x e a linearidade:
\frac{d}{dx}(9x^{2})=9\cdot 2x=18x, \qquad \frac{d}{dx}(6x)=6, \qquad \frac{d}{dx}(1)=0.
Somando:
\frac{dy}{dx}=18x+6,
que coincide com a forma expandida da expressão obtida antes.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=18x+6

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