Usando as regras de derivação estudadas, derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a sua derivada em relação a
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - A variável independente é
.
Objetivo claro: calcular.
Passo 2
Como a função é uma potência de uma expressão linear, uma forma natural de proceder é tratar a parte interna
como uma nova variável temporária e aplicar a regra que combina a derivada da potência com a derivada da expressão interior. Vou usar a substituição
então a função fica
. Depois volto a escrever tudo em
. (Observação: outra abordagem possível é expandir
e derivar termo a termo; mostro essa alternativa depois para reforçar.)
Passo 3
Vou lembrar duas regras simples que usarei (explicando o que cada símbolo significa):
- Regra da potência (para variável
): se com constante, então a derivada de em relação a é
Aqui
é a variável (a expressão interna) e
é o expoente.
- Derivada de uma função linear: se
com constantes, então
porque a derivada de
é
e a derivada de uma constante
é
.
Passo 4
Aplicando essas regras ao nosso caso:
- Com
e , pela regra da potência,
- Pela derivada da expressão linear
,
Agora combinamos (regra da cadeia): a derivada de
em relação a
é o produto
. Assim
Voltando para
(substituindo
):
Podemos simplificar esta expressão (multiplicando os números):
, então
Se quiseres expandir,
.
Passo 5
Alternativa (expansão + derivação termo a termo) — procedimento que dá o mesmo resultado e é útil para conferir:
- Primeiro expandir
:
- Derivar termo a termo usando a regra da potência para potências de
e a linearidade:
Somando:
que coincide com a forma expandida da expressão obtida antes.