Encontre a sequência
das somas parciais da série
. Se
for convergente, calcule a sua soma.
(c)
;
(c)
Passo 1
O enunciado pede para obter a sequência de somas parciais
de
com
, e, se convergir, calcular sua soma. Vamos usar a técnica de frações parciais para ver o cancelamento telescópico.
Passo 2
Decompondo
temos
para todo
. Igualando coeficientes obtém-se
logo
Portanto
Passo 3
Escrevendo a soma parcial
, vem
Ao expandir o somatório observa‐se o cancelamento telescópico:
Ficam sobrando apenas os dois primeiros termos positivos e os dois últimos negativos.
Passo 4
Reunindo o que sobra,
Passo 5
Para
temos
e
, de modo que
Resposta
A sequência de somas parciais é
e a série converge para