Encontre a sequência \left\{s_{N}\right\}_{N=1}^{+\infty} das somas parciais da série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}. Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} for convergente, calcule a sua soma.
(c) a_{n}=\frac{1}{n(n+2)};

Passo 1

O enunciado pede para obter a sequência de somas parciais \{s_{N}\}_{N=1}^{\infty} de
\sum_{n=1}^{\infty}a_n
com a_n=\frac{1}{n(n+2)}, e, se convergir, calcular sua soma. Vamos usar a técnica de frações parciais para ver o cancelamento telescópico.

Passo 2

Decompondo
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2},
temos
1 = A(n+2) + Bn
para todo n. Igualando coeficientes obtém-se
A + B = 0,\quad 2A = 1
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A = \tfrac12,\quad B = -\tfrac12.
Portanto
a_n = \frac{1}{n(n+2)} = \tfrac12\Bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\Bigr).

Passo 3

Escrevendo a soma parcial s_N=\sum_{n=1}^N a_n, vem
s_N = \frac12\sum_{n=1}^N\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\Bigr).
Ao expandir o somatório observa‐se o cancelamento telescópico:
\frac{1}{1}-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}-\frac{1}{4} + \frac{1}{3}-\frac{1}{5} +\cdots+ \frac{1}{N}-\frac{1}{N+2}.
Ficam sobrando apenas os dois primeiros termos positivos e os dois últimos negativos.

Passo 4

Reunindo o que sobra,
s_N = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12 - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2}\Bigr) = \frac34 - \frac{1}{2(N+1)} - \frac{1}{2(N+2)}.

Passo 5

Para N\to\infty temos \tfrac{1}{N+1}\to0 e \tfrac{1}{N+2}\to0, de modo que
\lim_{N\to\infty}s_N = \frac34.

Resposta

A sequência de somas parciais é
s_N = \frac34 - \frac{1}{2(N+1)} - \frac{1}{2(N+2)},
e a série converge para
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)} = \frac34.

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