Encontre a sequência \left\{s_{N}\right\}_{N=1}^{+\infty} das somas parciais da série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}. Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} for convergente, calcule a sua soma.
(d) a_{n}=\frac{1}{2^{n}};

Passo 1

O enunciado pede as somas parciais \{s_{N}\}_{N=1}^{\infty} da série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} com a_{n} = \frac{1}{2^{n}}, e, se convergente, sua soma.
O conteúdo envolvido é série geométrica, cujo termo geral é a_{n}=a_{1}r^{\,n-1}.

Passo 2

Para reconhecer a série como geométrica, identificamos:
o primeiro termo
a_{1} = \frac{1}{2^{1}} = \frac12,
e a razão
r = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{\tfrac1{2^{2}}}{\tfrac1{2^{1}}} = \frac12.
Como r\neq1, podemos usar a fórmula da soma dos primeiros N termos.

Passo 3

A fórmula da soma finita de uma série geométrica é
s_{N} = \sum_{n=1}^{N}a_{n} = a_{1}\,\frac{1 - r^{N}}{1 - r}.
Substituindo a_{1}=\tfrac12 e r=\tfrac12,
s_{N} = \frac12\;\frac{1 - \bigl(\tfrac12\bigr)^{N}}{1 - \tfrac12} = \frac12\;\frac{1 - 2^{-N}}{\tfrac12} = 1 - 2^{-N}.

Passo 4

Como \bigl|\tfrac12\bigr|<1, temos \lim_{N\to\infty}2^{-N}=0. Logo, a série converge e
\lim_{N\to\infty}s_{N} = \lim_{N\to\infty}\bigl(1 - 2^{-N}\bigr) = 1.

Resposta

A sequência de somas parciais é
s_{N} = 1 - 2^{-N},
e a soma da série, por convergir, é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} = 1.

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