Encontre a sequência \left\{s_{N}\right\}_{N=1}^{+\infty} das somas parciais da série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}. Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} for convergente, calcule a sua soma.
(d) a_{n}=\frac{1}{2^{n}};
Passo 1
O enunciado pede as somas parciais \{s_{N}\}_{N=1}^{\infty} da série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} com a_{n} = \frac{1}{2^{n}}, e, se convergente, sua soma.
O conteúdo envolvido é série geométrica, cujo termo geral é a_{n}=a_{1}r^{\,n-1}.
Passo 2
Para reconhecer a série como geométrica, identificamos:
o primeiro termo
a_{1} = \frac{1}{2^{1}} = \frac12,
e a razão
r = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{\tfrac1{2^{2}}}{\tfrac1{2^{1}}} = \frac12.
Como r\neq1, podemos usar a fórmula da soma dos primeiros N termos.
Passo 3
A fórmula da soma finita de uma série geométrica é