Encontre a série complexa de Fourier das seguintes funções. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=-1 se -\pi<x<0, f(x)=1 se 0<x<\pi

Passo 1

O enunciado dá a função periódica (período 2\pi\), definida em \((-\pi,\pi)\) e estendida por periodicidade) \[f(x)=\begin{cases} -1, & -\pi<x<0,\\[4pt] 1, & 0<x<\pi. \end{cases}
O que se pede: encontrar a série complexa de Fourier de f\], ou seja escrever \[f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}\] e determinar explicitamente os coeficientes \(c_n (incluindo c_0). \n
Informações relevantes: f é ímpar (ou seja f(-x)=-f(x)) e tem descontinuidade em x=0 (saltos de valor), o que influenciará apenas a convergência pontual nos pontos de descontinuidade.]

Passo 2

Fórmula dos coeficientes complexos. Vou lembrar e explicar a fórmula que usamos: os coeficientes complexos c_n de uma função periódica de período 2\pi são dados por
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\,dx,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Aqui n é um inteiro (positivo, negativo ou zero). A integral calcula a “projeção” de f sobre a função e^{inx}. A série complexa é então
f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}.
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função. Observação: devemos tratar n=0 à parte, porque c_0 é simplesmente a média da função no período:
c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.

Passo 3

Cálculo de c_0. Como f é ímpar, a integral sobre [-\pi,\pi] é zero (área positiva cancela com área negativa). Faço a conta explicitamente:
c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx =\frac{1}{2\pi}\bigg(\int_{-\pi}^{0}(-1)\,dx+\int_{0}^{\pi}1\,dx\bigg) =\frac{1}{2\pi}\big(-\pi+\pi\big)=0.
Portanto
c_0=0.

Passo 4

Cálculo de c_n para n\neq0. Usamos a fórmula direta e quebramos a integral em duas partes, conforme os ramos da função:
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\,dx =\frac{1}{2\pi}\Big(\int_{-\pi}^{0}(-1)e^{-inx}\,dx+\int_{0}^{\pi}1\cdot e^{-inx}\,dx\Big).
Coloco as duas integrais separadas:
c_n=\frac{1}{2\pi}\Big(-\int_{-\pi}^{0}e^{-inx}\,dx+\int_{0}^{\pi}e^{-inx}\,dx\Big).

Passo 5

Avalio cada integral. Para n\neq0 a primitiva de e^{-inx} é \dfrac{e^{-inx}}{-in}. Portanto:
\int_{0}^{\pi}e^{-inx}\,dx=\left[\frac{e^{-inx}}{-in}\right]_{0}^{\pi} =\frac{e^{-in\pi}-1}{-in} =\frac{1- e^{-in\pi}}{in}.
E
\int_{-\pi}^{0}e^{-inx}\,dx=\left[\frac{e^{-inx}}{-in}\right]_{-\pi}^{0} =\frac{1-e^{in\pi}}{-in} =\frac{e^{in\pi}-1}{in}.
Substituo essas duas expressões em c_n:
c_n=\frac{1}{2\pi}\Big(-\frac{e^{in\pi}-1}{in}+\frac{1- e^{-in\pi}}{in}\Big).

Passo 6

Simplifico usando e^{in\pi}=(-1)^n e e^{-in\pi}=(-1)^n (porque e^{in\pi}=\cos(n\pi)+i\sin(n\pi)=(-1)^n). Assim
c_n=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{-\big((-1)^n-1\big)+\big(1-(-1)^n\big)}{in} =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\big(1-(-1)^n\big)}{in}.
Portanto
c_n=\frac{1-(-1)^n}{i n\pi}.

Passo 7

Interpreto o fator 1-(-1)^n\). Se \(n\) é par, então \((-1)^n=1\) e \(1-(-1)^n=0\), logo \(c_n=0\) para todo \(n\) par. Se \(n\) é ímpar, então \((-1)^n=-1\) e \(1-(-1)^n=2\), então para \(n\) ímpar: \[c_n=\frac{2}{i n\pi}=\,-\frac{2i}{n\pi},
pois \dfrac{1}{i}=-i. Resumindo,
c_n=\begin{cases} 0, & n\text{ par},\\[4pt] -\dfrac{2i}{n\pi}, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í
E lembrando (c_0=0].]

Passo 8

Escrevo a série complexa completa. Colocando os coeficientes na forma da série:
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx},
onde c_n é dado no passo anterior. É comum notar que somente os índices ímpares contribuem. Alternativamente podemos relacionar com a série em senos (real): usando a identidade \sin(nx)=\dfrac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}, obtém-se a conhecida série de Fourier em senos
f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n},í
e os coeficientes complexos acima correspondem exatamente a essa decomposição (cheque rápido: para n ímpar, c_n=-\dfrac{2i}{n\pi} e c_{-n}= \dfrac{2i}{n\pi}, o que reproduz os termos em \sin(nx)).

Resposta

c_0=0
c_n=\begin{cases} 0, & n\\ \text{par},\\[6pt] -\dfrac{2i}{n\pi}, & n\\ \text{ímpar}, \end{cases}\qquad (n\in\mathbb{Z},\\ n\neq0)í
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}\quad\text{com os }c_n\text{ acima.}]

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