Encontre a série complexa de Fourier das seguintes funções. (Mostre os detalhes do que fizer.) f(x)=-1 se -\pi<x<0, f(x)=1 se 0<x<\pi
Passo 1
O enunciado dá a função periódica (período 2\pi\), definida em \((-\pi,\pi)\) e estendida por periodicidade)
\[f(x)=\begin{cases} -1, & -\pi<x<0,\\[4pt] 1, & 0<x<\pi. \end{cases}
O que se pede: encontrar a série complexa de Fourier de f\], ou seja escrever
\[f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}\]
e determinar explicitamente os coeficientes \(c_n (incluindo c_0). \n
Informações relevantes: f é ímpar (ou seja f(-x)=-f(x)) e tem descontinuidade em x=0 (saltos de valor), o que influenciará apenas a convergência pontual nos pontos de descontinuidade.]
Passo 2
Fórmula dos coeficientes complexos. Vou lembrar e explicar a fórmula que usamos: os coeficientes complexos c_n de uma função periódica de período 2\pi são dados por
Interpreto o fator 1-(-1)^n\). Se \(n\) é par, então \((-1)^n=1\) e \(1-(-1)^n=0\), logo \(c_n=0\) para todo \(n\) par. Se \(n\) é ímpar, então \((-1)^n=-1\) e \(1-(-1)^n=2\), então para \(n\) ímpar:
\[c_n=\frac{2}{i n\pi}=\,-\frac{2i}{n\pi},
Escrevo a série complexa completa. Colocando os coeficientes na forma da série:
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx},
onde c_n é dado no passo anterior. É comum notar que somente os índices ímpares contribuem. Alternativamente podemos relacionar com a série em senos (real): usando a identidade \sin(nx)=\dfrac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}, obtém-se a conhecida série de Fourier em senos
e os coeficientes complexos acima correspondem exatamente a essa decomposição (cheque rápido: para n ímpar, c_n=-\dfrac{2i}{n\pi} e c_{-n}= \dfrac{2i}{n\pi}, o que reproduz os termos em \sin(nx)).