Encontre a solução geral de
y^{\prime}(x)=x y+1+x+y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
y'(x)=x\,y+1+x+y.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i)}\quad y'(x)\\ \text{é a derivada de}\\ y\\ \text{em relação a}\\ x.éçã
\text{(ii)}\quad \text{A equação mistura termos em }x\text{ e }y\text{ linearmente: }x y,\\ y,\\ x,\\ \text{constante }1.çã
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa igualdade para x numa região apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o membro direito, agrupando termos que têm fator comum. Reescrevendo
x\,y+1+x+y=(x+1)y+(x+1).
Observe que eu peguei os dados do próprio enunciado para formar essa expressão.

Passo 3

Fatorando (x+1) em comum obtemos uma forma mais simples da equação:
y'=(x+1)(y+1).
Essa forma já é bem útil porque separa, multiplicativamente, uma função de x por uma função de y.

Passo 4

Agora explico o método que vamos usar (de forma didática, passo a passo): quando uma equação diferencial pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}=G(x)\,H(y),
dizemos que ela é separável. Isso permite separar as variáveis, escrevendo
\frac{dy}{H(y)}=G(x)\,dx,
e então integrar ambos os lados. Aqui G(x) é uma função só de x e H(y) só de y. Integrar significa encontrar antiderivadas: se \int G(x)\,dx é uma primitiva de G, então qualquer primitiva difere por uma constante C.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, onde G(x)=x+1 e H(y)=y+1, separamos as variáveis:
\frac{dy}{y+1}=(x+1)\,dx.
Expliquei: a ideia é “colocar tudo que contém y à esquerda e tudo que contém x à direita” para poder integrar cada lado.

Passo 6

Integramos ambos os lados. Primeiro, a primitiva de 1/(y+1) em relação a y é o logaritmo natural:
\int \frac{dy}{y+1}=\ln|y+1|.
Isso vem da regra básica \int \frac{du}{u}=\ln|u|+C com u=y+1. No lado direito, a primitiva de x+1 em relação a x é
\int (x+1)\,dx=\frac{x^2}{2}+x.
Portanto obtemos, com uma constante de integração C,
\ln|y+1|=\frac{x^2}{2}+x+C.

Passo 7

Agora “desfazemos” o logaritmo exponenciando os dois lados. Aplicando exponencial:
|y+1|=e^{\frac{x^2}{2}+x+C}=e^{C}\,e^{\frac{x^2}{2}+x}.
Denotando A=e^{C}>0, ficamos com |y+1|=A\,e^{\frac{x^2}{2}+x}. Isso significa que
y+1=\pm A\,e^{\frac{x^2}{2}+x}.

Passo 8

Podemos unificar o sinal e a constante escrevendo uma constante arbitrária K (que pode ser qualquer número real, incluindo 0) multiplicando a exponencial:
y+1=K\,e^{\frac{x^2}{2}+x},
onde K\in\mathbb{R}. Aqui eu expliquei: mesmo que a derivação com log dê A>0, o \pm permite cobrir K negativo; o caso K=0 corresponde à solução constante y\equiv-1 (que também satisfaz a equação original).

Passo 9

Isolando y, obtemos a forma final da família de soluções:
y(x)=K\,e^{\frac{x^2}{2}+x}-1,
com K\in\mathbb{R}. Esta é a solução geral. Se quisermos checar rapidamente: derivando essa expressão e substituindo na equação original, a igualdade se mantém (pode-se verificar por diferenciação direta usando a regra da cadeia).

Resposta

y(x)=K\,e^{\frac{x^{2}}{2}+x}-1,\;K\in\mathbb{R}.

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