Encontre a solução geral de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: encontrar a solução geral
que satisfaça essa igualdade para
numa região apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o membro direito, agrupando termos que têm fator comum. Reescrevendo
Observe que eu peguei os dados do próprio enunciado para formar essa expressão.
Passo 3
Fatorando
em comum obtemos uma forma mais simples da equação:
Essa forma já é bem útil porque separa, multiplicativamente, uma função de
por uma função de
.
Passo 4
Agora explico o método que vamos usar (de forma didática, passo a passo): quando uma equação diferencial pode ser escrita como
dizemos que ela é separável. Isso permite separar as variáveis, escrevendo
e então integrar ambos os lados. Aqui
é uma função só de
e
só de
. Integrar significa encontrar antiderivadas: se
é uma primitiva de
, então qualquer primitiva difere por uma constante
.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, onde
e
, separamos as variáveis:
Expliquei: a ideia é “colocar tudo que contém
à esquerda e tudo que contém
à direita” para poder integrar cada lado.
Passo 6
Integramos ambos os lados. Primeiro, a primitiva de
em relação a
é o logaritmo natural:
Isso vem da regra básica
com
. No lado direito, a primitiva de
em relação a
é
Portanto obtemos, com uma constante de integração
,
Passo 7
Agora “desfazemos” o logaritmo exponenciando os dois lados. Aplicando exponencial:
Denotando
, ficamos com
. Isso significa que
Passo 8
Podemos unificar o sinal e a constante escrevendo uma constante arbitrária
(que pode ser qualquer número real, incluindo
) multiplicando a exponencial:
onde
. Aqui eu expliquei: mesmo que a derivação com log dê
, o
permite cobrir
negativo; o caso
corresponde à solução constante
(que também satisfaz a equação original).
Passo 9
Isolando
, obtemos a forma final da família de soluções:
com
. Esta é a solução geral. Se quisermos checar rapidamente: derivando essa expressão e substituindo na equação original, a igualdade se mantém (pode-se verificar por diferenciação direta usando a regra da cadeia).