Verifique que as equações abaixo são homogêneas e encontre suas soluções gerais:
(Simmons, pag. 49, exer. 1(a) e (b))
\left(x^{2}-2 y^{2}\right)+x y y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}-2 y^{2}\right)+x y y^{\prime}=0
e pede que verifiquemos que ela é homogênea e que encontremos a solução geral. As informações relevantes são: a equação está escrita na forma M(x,y)+N(x,y)y'=0 com M(x,y)=x^{2}-2y^{2} e N(x,y)=xy. O que devemos devolver é (1) a verificação de homogeneidade e (2) a solução geral da equação (implícita ou explícita), incluindo quaisquer soluções singulares que apareçam.

Passo 2

Explicando o que significa ser homogênea (aula rápida): uma equação na forma
M(x,y)+N(x,y)y'=0
é dita homogênea se M e N são funções homogêneas do mesmo grau, isto é, se para todo t vale M(tx,ty)=t^{k}M(x,y) e N(tx,ty)=t^{k}N(x,y) para algum grau k. Aqui calculemos os graus de M e N:
  • M(x,y)=x^{2}-2y^{2} é soma de termos de grau 2, logo M é homogênea de grau 2.
  • N(x,y)=xy é produto de x e y, logo é homogênea de grau 2.
    Como M e N têm o mesmo grau 2, a equação é homogênea. Portanto podemos usar a substituição padrão y=vx (onde v depende de x) para reduzir a equação a uma equação de separação de variáveis.

Passo 3

Fazendo a substituição y=vx. Temos primeiro a derivada
y'=\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Agora substituímos y=vx e y' na equação original. Vamos calcular cada termo com calma:
x^{2}-2y^{2}=x^{2}-2(vx)^{2}=x^{2}-2v^{2}x^{2}=x^{2}(1-2v^{2}),
e
x y y' = x\cdot (v x)\cdot\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)=v x^{2}\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)=v^{2}x^{2}+v x^{3}\frac{dv}{dx}.
Somando os dois termos e igualando a zero:
x^{2}(1-2v^{2}) + v^{2}x^{2} + v x^{3}\frac{dv}{dx}=0.
Agora somamos os coeficientes em x^{2}:
x^{2}\bigl(1-2v^{2}+v^{2}\bigr) + v x^{3}\frac{dv}{dx}=0,
ou seja
x^{2}(1-v^{2}) + v x^{3}\frac{dv}{dx}=0.

Passo 4

Simplificamos dividindo por x^{2} (a divisão é válida para x\neq 0; a seguir comentamos o caso x=0):
1-v^{2} + v x\frac{dv}{dx}=0.
Isolamos o termo com \frac{dv}{dx}:
v x\frac{dv}{dx}=v^{2}-1.
Agora separamos as variáveis v e x. Assumindo v\neq 0 (tratamos depois v=0 se necessário), obtemos
\frac{v}{v^{2}-1}\,dv=\frac{dx}{x}.
Isto é uma integral de variáveis separadas pronta para integrar.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados. Para a integral à esquerda fazemos a substituição u=v^{2}-1, então du=2v\,dv e v\,dv=\frac{1}{2}du. Assim
\int \frac{v}{v^{2}-1}\,dv = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln|v^{2}-1| + C.
A integral à direita é
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C.
Igualando as primitivas (absorvendo constantes em uma só constante C) obtemos
\frac{1}{2}\ln|v^{2}-1| = \ln|x| + C.
Multiplicando por 2 e exponenciando (ou simplesmente reescrevendo a constante) chegamos a
\ln|v^{2}-1| = 2\ln|x| + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad v^{2}-1 = C x^{2},
onde C é uma constante arbitrária (podemos ter trocado o sinal ao eliminar o valor absoluto).

Passo 6

Voltando à variável original y usando v=y/x, substituímos v^{2}=(y/x)^{2} e obtém-se
\frac{y^{2}}{x^{2}} - 1 = C x^{2}.
Multiplicando por x^{2} (novamente considerando x\neq 0):
y^{2} - x^{2} = C x^{4}.
Esta é a solução geral implícita. Podemos também escrever a solução explícita para y (duas folhas, sinal ±):
y = \pm x\sqrt{1 + C x^{2}}.
Note que o caso C=0 y^{2}-x^{2}=0\Rightarrow y=\pm x, que são de facto soluções (linhas integrais), e estavam já incluídas pela constante C. O caso x=0 não fornece uma solução válida contínua para toda a reta; se x=0 a equação original só se satisfaz se y=0 naquele ponto isolado, mas não existe uma solução do tipo constante y\equiv 0 (pois para y\equiv 0 a equação não se anula para x\neq 0).

Resposta

A equação é homogênea ( M e N são homogêneas de grau 2 ).
Solução geral implícita: y^{2}-x^{2}=C x^{4}.
Solução geral explícita: y=\pm x\sqrt{1+C x^{2}}, com C constante arbitrária (domínio com x\neq 0).

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