Verifique que as equações abaixo são homogêneas e encontre suas soluções gerais:
(Simmons, pag. 49, exer. 1(a) e (b))
.
(Simmons, pag. 49, exer. 1(a) e (b))
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que verifiquemos que ela é homogênea e que encontremos a solução geral. As informações relevantes são: a equação está escrita na forma
com
e
. O que devemos devolver é (1) a verificação de homogeneidade e (2) a solução geral da equação (implícita ou explícita), incluindo quaisquer soluções singulares que apareçam.
Passo 2
Explicando o que significa ser homogênea (aula rápida): uma equação na forma
é dita homogênea se
e
são funções homogêneas do mesmo grau, isto é, se para todo
vale
e
para algum grau
. Aqui calculemos os graus de
e
:
-
é soma de termos de grau , logo é homogênea de grau . -
é produto de e , logo é homogênea de grau .
Comoe têm o mesmo grau , a equação é homogênea. Portanto podemos usar a substituição padrão (onde depende de ) para reduzir a equação a uma equação de separação de variáveis.
Passo 3
Fazendo a substituição
. Temos primeiro a derivada
Agora substituímos
e
na equação original. Vamos calcular cada termo com calma:
e
Somando os dois termos e igualando a zero:
Agora somamos os coeficientes em
:
ou seja
Passo 4
Simplificamos dividindo por
(a divisão é válida para
; a seguir comentamos o caso
):
Isolamos o termo com
:
Agora separamos as variáveis
e
. Assumindo
(tratamos depois
se necessário), obtemos
Isto é uma integral de variáveis separadas pronta para integrar.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados. Para a integral à esquerda fazemos a substituição
, então
e
. Assim
A integral à direita é
Igualando as primitivas (absorvendo constantes em uma só constante
) obtemos
Multiplicando por
e exponenciando (ou simplesmente reescrevendo a constante) chegamos a
onde
é uma constante arbitrária (podemos ter trocado o sinal ao eliminar o valor absoluto).
Passo 6
Voltando à variável original
usando
, substituímos
e obtém-se
Multiplicando por
(novamente considerando
):
Esta é a solução geral implícita. Podemos também escrever a solução explícita para
(duas folhas, sinal ±):
Note que o caso
dá
, que são de facto soluções (linhas integrais), e estavam já incluídas pela constante
. O caso
não fornece uma solução válida contínua para toda a reta; se
a equação original só se satisfaz se
naquele ponto isolado, mas não existe uma solução do tipo constante
(pois para
a equação não se anula para
).
Resposta
A equação é homogênea (
e
são homogêneas de grau
).
Solução geral implícita: .
Solução geral explícita: , com
constante arbitrária (domínio com
).
Solução geral implícita:
Solução geral explícita: