Encontre a série em cossenos mista de Fourier.
f(x)=1,0<x<L;

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier em cossenos (meia-onda par) de
f(x)=1,\quad 0<x<L.
Vamos estender f de forma par ao intervalo [-L,L] e usar a expansão
f(x)\sim \frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr),
onde
A_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \quad A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx.

Passo 2

Calcule A_{0}:
A_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}1\,dx =\frac{2}{L}\bigl[x\bigr]_{0}^{L} =\frac{2}{L}\,L =2.

Passo 3

Calcule A_{n} para n\ge1:
A_{n} =\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx =\frac{2}{L}\cdot\frac{L}{n\pi}\Bigl[\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\Bigr]_{0}^{L} =\frac{2}{n\pi}\bigl(\sin(n\pi)-0\bigr) =0.

Passo 4

Substituindo em
f(x)\sim \frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)
vem
f(x)=\frac{2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}0\cdot\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr) =1.

Resposta

f(x)=1
ou seja, a série em cossenos reduz-se ao termo constante 1.

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