Problema 1 Calcular a integral tripla
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2} d V
onde B é a bola unitária definida por B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}\,dV
sobre a bola unitária
B = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2+z^2 \le 1\}.
O conteúdo principal aqui é o uso de coordenadas esféricas para integrar funções radiais em domínios esféricos. Vamos precisar do jacobiano em coordenadas esféricas e da simetria do domínio.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definidas por
x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi,
temos r\in[0,1], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi]. A função a integrar torna-se
\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2} = (r^{2})^{3/2} = r^{3},
e o elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Logo o integrando total é
r^{3}\cdot r^{2}\sin\varphi = r^{5}\sin\varphi.

Passo 3

Montamos a integral separando variáveis:
\iiint_{B}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\!d\theta \int_{0}^{\pi}\!\sin\varphi\,d\varphi \int_{0}^{1}\!r^{5}\,dr.
Calculamos cada parte:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \quad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 2, \quad \int_{0}^{1}r^{5}\,dr = \frac{1}{6}.
Multiplicando tudo:
2\pi \times 2 \times \frac{1}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}.

Resposta

\frac{2\pi}{3}.

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