Problema 2 Calcular a integral tripla iterada:
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{4} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{4} dz\,dy\,dx,
que é o volume da região limitada por baixo pelo paraboloide z=x^2+y^2, por cima pelo plano z=4 e na base pelo disco x^2+y^2\le4. Vamos primeiro integrar em z e depois usar coordenadas polares.

Passo 2

Integramos em z:
\int_{z=x^{2}+y^{2}}^{4} dz = 4 - (x^2 + y^2).
Isso reduz a integral a
\iint_{x^2+y^2\le4} \bigl(4 - (x^2+y^2)\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Como a região é o disco de raio 2 e o integrando depende de x^2+y^2, passamos a coordenadas polares
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad 0\le r\le2,\;0\le\theta\le2\pi,
com jacobiano r. A integral vira
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} (4 - r^2)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos a parte em r:
\int_{0}^{2}(4r - r^3)\,dr = \Bigl[2r^2 - \tfrac{1}{4}r^4\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(8 - 4\bigr) = 4.

Passo 5

Agora a parte em \theta:
\int_{0}^{2\pi}4\,d\theta = 4\cdot2\pi = 8\pi.

Resposta

8\pi

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