Encontre a série de Fourier complexa das seguintes funções:
f(x)=l-1,-pi<x<0 1,0<x<pi

Passo 1

O enunciado define f(x) como uma função 2pi-periódica dada em (-pi,pi) por
f(x)= -1, & -pi<x<0, 1, & 0<x<pi
Queremos achar a série de Fourier complexa, ou seja,
f(x)=sumn=-infty^inftycne^i n x,
onde
cn=12piintegral-pi^pif(x)e^-i n x,dx

Passo 2

Calculamos primeiro o termo de média c0:
c0=12piintegral-pi^pif(x),dx
Como f é função ímpar em (-pi,pi), a área positiva em (0,pi) cancela a negativa em (-pi,0), logo
c0=0

Passo 3

Para nneq0, escrevemos
cn =12pil(integral0^pi1cdot e^-i n x,dx ;-;integral-pi^01cdot e^-i n x,dxr)
Chamemos
I1=integral0^pie^-i n x,dx, I2=integral-pi^0e^-i n x,dx,
para facilitar.

Passo 4

Calculamos I1 e I2:
I1 =l[e^-i n x-i nr]0^pi =inl(e^-i npi-1r),
I2 =l[e^-i n x-i nr]-pi^0 =inl(1-e^i npir)

Passo 5

Substituindo em cn:
cn =12pil(I1-I2r) =12piinl(e^-i npi-1 - (1-e^i npi)r) =ipi nl(cos(npi)-1r)
Como cos(npi)=(-1)^n, segue
cn =ipi nl((-1)^n-1r)

Passo 6

Analisando (-1)^n-1:
  • Se n é par, (-1)^n-1=0, logo cn=0.
  • Se n é ímpar, (-1)^n-1=-2, logo
cn=-2ipi n

Passo 7

Portanto, a série de Fourier complexa é
com e para par.

Resposta

cn= 0, & n=0 ou (n) par, -2ipi n, & n ímpar, f(x)=sumsubstackn=-inftyn ímpar^infty!-2ipi n,e^i n x íí

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