Encontre a série de Fourier complexa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado define
f(x) como uma função
2pi -periódica dada em
(-pi,pi) por
Queremos achar a série de Fourier complexa, ou seja,
onde
Passo 2
Calculamos primeiro o termo de média
c0 :
Como
f é função ímpar em
(-pi,pi) , a área positiva em
(0,pi) cancela a negativa em
(-pi,0) , logo
Passo 3
Para
nneq0 , escrevemos
Chamemos
para facilitar.
Passo 4
Calculamos
I1 e
I2 :
Passo 5
Substituindo em
cn :
Como
cos(npi)=(-1)^n , segue
Passo 6
Analisando
(-1)^n-1 :
- Se
é par,n , logo(-1)^n-1=0 .cn=0 - Se
é ímpar,n , logo(-1)^n-1=-2
Passo 7
Portanto, a série de Fourier complexa é
com
e
para
par.