Fazendo a mudança para coordenadas polares, calcule as integrais:
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} \ln \left(x^{2}+y^{2}+1\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede
I = \int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)\,dx\,dy
que é a integral de \ln(x^{2}+y^{2}+1) sobre o disco de raio 1 no plano. Vamos usar coordenadas polares, já que a região e o integrando são radiais.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com r\in[0,1] e \theta\in[0,2\pi], e o Jacobiano é r. Logo
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \ln\bigl(r^{2}+1\bigr)\,r\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{1} r\,\ln\bigl(r^{2}+1\bigr)\,dr.

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{1} r\,\ln\bigl(r^{2}+1\bigr)\,dr
faremos a substituição u = r^{2}+1, de modo que du = 2r\,dr e r\,dr = \tfrac12\,du. Quando r=0, u=1; quando r=1, u=2. Assim
\int_{0}^{1} r\,\ln\bigl(r^{2}+1\bigr)\,dr = \frac12 \int_{1}^{2} \ln(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \ln(u)\,du = u\ln(u) - u + C.
Portanto
\frac12 \int_{1}^{2} \ln(u)\,du = \frac12 \Bigl[\,u\ln(u) - u\Bigr]_{1}^{2} = \frac12 \bigl[(2\ln 2 -2) - (1\ln1 -1)\bigr] = \frac12 \bigl(2\ln2 -2 +1\bigr) = \ln2 - \tfrac12.
Multiplicando por 2\pi obtemos
I = 2\pi\bigl(\ln2 - \tfrac12\bigr) = 2\pi\ln2 - \pi.

Resposta

2\pi \ln 2 \;-\;\pi.

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