Encontre a Série de Fourier correspondente a cada função dada.
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}1, & -1<x<0 \\\ x, & 0 \leq x<1\end{array}, f(x+2)=f(x)\right.

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período 2\) definida em \([-1,1)\) por \[f(x)= \begin{cases} 1, & -1<x<0,\\\ x, & 0\le x<1, \end{cases}
e pede sua série de Fourier de período 2\]. O método envolve: 1. Escolher o intervalo de comprimento \(2L=2, logo L=1.
2. Escrever a forma geral
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\pi x/L)+b_n\sin(n\pi x/L)\bigr),
que aqui fica
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr).
  1. Calcular a_0, a_n e b_n via integrais em [-1,1].

Passo 2

Cálculo de a_0:
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx =\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\int_{-1}^{0}1\,dx+\int_{0}^{1}x\,dx =1+\frac{1}{2} =\frac{3}{2}.

Passo 3

Cálculo de a_n para n\ge1:
a_n =\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx =\int_{-1}^{0}1\cdot\cos(n\pi x)\,dx +\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx.
A primeira integral é
\int_{-1}^{0}\cos(n\pi x)\,dx =\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\Big|_{-1}^{0} =\frac{0-\bigl(-\sin(n\pi)\bigr)}{n\pi} =\frac{\sin(n\pi)}{n\pi}=0.
Na segunda, use integração por partes ( u=x, dv=\cos(n\pi x)\,dx):
\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx =-\frac{1}{n\pi}\int_{0}^{1}\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{1}{n\pi}\frac{1-(-1)^n}{n\pi} =\,-\frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2}.
Logo
a_n=-\frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2} =\begin{cases} -\dfrac{2}{n^2\pi^2},&n\text{ ímpar},\\[6pt] 0,&n\text{ par}. \end{cases}í]

Passo 4

Cálculo de b_n para n\ge1:
b_n =\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx =\int_{-1}^{0}1\cdot\sin(n\pi x)\,dx +\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx.
A primeira integral é
\int_{-1}^{0}\sin(n\pi x)\,dx =\frac{-\cos(n\pi x)}{n\pi}\Big|_{-1}^{0} =\frac{-1-(-(-1)^n)}{n\pi} =\frac{-1+(-1)^n}{n\pi}.
Na segunda, por partes ( u=x, dv=\sin(n\pi x)\,dx):
\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}\Big|_{0}^{1} +\frac{1}{n\pi}\int_{0}^{1}\cos(n\pi x)\,dx =-\frac{(-1)^n}{n\pi}\,,
pois \sin(n\pi)=0. Somando as duas partes
b_n =\frac{-1+(-1)^n}{n\pi}-\frac{(-1)^n}{n\pi} =-\frac{1}{n\pi}.

Resposta

A série de Fourier de f(x) é
f(x) =\frac{3}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\Bigr),
com
a_n= \begin{cases} -\dfrac{2}{n^2\pi^2},&n\text{ ímpar},\\[6pt] 0,&n\text{ par}, \end{cases} \quad b_n=-\frac{1}{n\pi}.í]

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