Sejam a, b \in \mathbb{R}. Considere a função contínua y=f(x) definida no intervalo [-4,8] dada por
\left\{\begin{array}{ll} x+6, & \text { se }-4 \leq x \leq 0 \\\ a x+b, & \text { se } 0<x<4 \\\\ 2 x-10, & \text { se } 4 \leq x \leq 8 \end{array}\right.
Podemos afirmar que a+b vale
(a) -12
(b) -2
(c) 0
(d) 4
(e) 6

Passo 1

O enunciado define uma função contínua em [-4,8]\) por partes: \[f(x)= \begin{cases} x+6, & -4\le x\le0,\\\ ax+b, & 0<x<4,\\\\ 2x-10, & 4\le x\le8. \end{cases}
Como f\] é contínua, os valores das peças devem coincidir em \(x=0 e em x=4. Vamos usar essa ideia para achar a e b.

Passo 2

Continuidade em x=0: do ramo da esquerda temos
\lim_{x\to0^-}f(x)=0+6=6.
Do ramo do meio,
\lim_{x\to0^+}f(x)=a\cdot0+b=b.
Igualando as duas expressões obtemos
b=6.

Passo 3

Continuidade em x=4: do ramo do meio
\lim_{x\to4^-}f(x)=a\cdot4+b=4a+b,
e do ramo da direita
\lim_{x\to4^+}f(x)=2\cdot4-10=8-10=-2.
Igualando,
4a+b=-2.
Como b=6, segue
4a+6=-2\quad\Longrightarrow\quad4a=-8\quad\Longrightarrow\quad a=-2.

Passo 4

Agora calculamos
a+b = (-2)+6 = 4.

Resposta

(d)

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